Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijs rijen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bonzai

    Bonzai


  • >100 berichten
  • 190 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 februari 2008 - 20:35

Hey
een bewijsje uit men handboek van rijen en reeksen:
Je hebt Un+1 = 0.5 Un + 3. Bewijs dan dat: Un = 6 - 8/(2n)

Ik dacht dit te bewijzen door volledige inductie maar ik geraak er niet uit... iemand voorstellen?

Alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 februari 2008 - 21:14

Hey
een bewijsje uit men handboek van rijen en reeksen:
Je hebt Un+1 = 0.5 Un + 3. Bewijs dan dat: Un = 6 - 8/(2n)

Ik dacht dit te bewijzen door volledige inductie maar ik geraak er niet uit... iemand voorstellen?

Alvast bedankt

Hoe begint je rij?

#3

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 februari 2008 - 21:15

Begin eens met het uitschrijven van het geval n = 1. Stel vervolgens de inductiehypothese op en bewijs voor n + 1 (2 dus). Lukt dat?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 februari 2008 - 21:20

Zet je bewijs eens op.

#5

Bonzai

    Bonzai


  • >100 berichten
  • 190 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 februari 2008 - 22:24

U1 = 2
Dus U2 = 0.5 x 2 + 3 = 4 (n=1)
U3 = 0.5 x 4 + 3 = 5 (n=2)

Dus ook: voor
n=2 : U2 = 6 - 8/4= 4
n=3 : U3 = 6 - 8/8= 5

==> Als het bewijs geldt voor Un, dan geldt het ook voor Un+1:
Un=6 - 8/2^n
Un=2 Un+1 + 6

voor Un+1 : Un+1 = 6 - 8/2^(n+1)
Un+1 = 2 Un+2 + 6

hier zit ik vast

#6

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 februari 2008 - 23:10

Veronderstel dat er geldt:

LaTeX voor een zekere n>3 (voor n= 2 en 3 klopt het) dan geldt voor LaTeX :


LaTeX
Quitters never win and winners never quit.

#7

Bonzai

    Bonzai


  • >100 berichten
  • 190 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2008 - 10:03

Veronderstel dat er geldt:

LaTeX

voor een zekere n>3 (voor n= 2 en 3 klopt het) dan geldt voor LaTeX :


LaTeX


= 3 - 4/2^n + 3
= 6 - 8/2^(n+1)

Dus het bewijs klopt :D
Ik had er gewoon niet aan gedacht om de twee uitdrukkingen in elkaar te gebruiken...
Bedankt voor alle reacties!

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 februari 2008 - 12:25

= 3 - 4/2^n + 3
= 6 - 8/2^(n+1)

Dus het bewijs klopt :D
Ik had er gewoon niet aan gedacht om de twee uitdrukkingen in elkaar te gebruiken...
Bedankt voor alle reacties!

Twee opm:
Kennelijk begrijp je de bewijsvoering van volledige inductie niet helemaal.
Je controleert voor de eerste term, je neemt aan voor de k-de term (de inductieveronderstelling) en daarmee(!) bewijs je dat de formule geldt voor de (k+1)-de term. Ga na dat dan de rij volledig is.

LaTeX

#9

Bonzai

    Bonzai


  • >100 berichten
  • 190 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2008 - 13:33

LaTeX


Dat heb ik toch neergeschreven? Of bedoel je dat ik nu ook het bewijs moet voeren met n+1 voor n+2?
(En idd, we hebben volledige inductie nog maar net zeer gering gezien)

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 februari 2008 - 13:59

Dat heb ik toch neergeschreven? Of bedoel je dat ik nu ook het bewijs moet voeren met n+1 voor n+2?
(En idd, we hebben volledige inductie nog maar net zeer gering gezien)

Jij schreef:
LaTeX

Heb je nagegaan dat de bewijsvoering dan geldt voor alle natuurlijke getallen.

#11

Bonzai

    Bonzai


  • >100 berichten
  • 190 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2008 - 14:09

als ik het dus schrijf zoals jij het zegt, is het bewijs volledig?

Veranderd door Bonzai, 06 februari 2008 - 14:10


#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 februari 2008 - 14:26

De wijze waarop je het had genoteerd was al OK, het was een opm van mijn kant dat je een 'omweg' maakte.

Wat betreft de volledige inductie:
1. Je controleert n=1
2. Inductieveronderstelling, dwz je neemt aan dat n=k de formule klopt en daarmee bewijs je dat de formule klopt voor n=k+1.

Dus n=1 is OK, maar als k=1 klopt, dan klopt k=2.
Als k=2 klopt, dan klopt k=3 enz.
Dus de formule is juist voor alle natuurlijke getallen.

#13

Bonzai

    Bonzai


  • >100 berichten
  • 190 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2008 - 14:29

Ok, ik snap het...
Bedankt voor je opmerkingen!

#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 februari 2008 - 15:05

Ok, ik snap het...
Bedankt voor je opmerkingen!

OK! Succes.

#15

Bonzai

    Bonzai


  • >100 berichten
  • 190 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2008 - 20:51

Nog even voor alle duidelijkheid het bewijs volledig.

U1 = 2
Dus U2 = 0.5 x 2 + 3 = 4 (n=1)
U3 = 0.5 x 4 + 3 = 5 (n=2)

Dus ook: voor
n=2 : U2 = 6 - 8/4= 4
n=3 : U3 = 6 - 8/8= 5

==> Als het bewijs geldt voor Un, dan geldt het ook voor Un+1:
U(n+1) = 0.5 Un + 3 = 0.5x(6-8/2^n) + 3
= 6 - 8/2^(n+1)

Q.E.D.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures