Springen naar inhoud

[Wiskunde] Fourier series


  • Log in om te kunnen reageren

#1

okej26

    okej26


  • >100 berichten
  • 211 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 februari 2008 - 15:58

Ben nu opgave aan het maken over partiele differentiaal vergelijkingen en loop tegen het volgende punt aan:
Wanneer gebruik je de cosinus Fourier reeks en wanneer de Sinus Fourier reeks?

Heb 3 uitgewerkte voorbeelden hiervan en twee zijn er met sinusreeks opgelost en de andere met een cosinusreeks. Hangt dit af van wat de f(x) is? Dat is namelijk nu de enige mogelijke verklaring die ik er voor zou kunnen geven omdat toevallig bij de f(x) met een cosinus term erin de cosinusreeks werd gebruikt en andersom was dit ook zo.
Dit lijkt me geen goede conclusie vandaar dat ik het vraag, misschien iemand die het wel weet?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 februari 2008 - 16:35

Kun je een voorbeeld geven?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 februari 2008 - 16:49

Het is voor mij al weer een jaar geleden, maar volgens mij moet ligt het inderdaad aan f(x). Als f(x) even is krijg je ...cos(x) en oneven krijg je..sin(x)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 februari 2008 - 17:04

Ja, je hebt zoiets als coefficienten a_n en b_n gegeven door
LaTeX
LaTeX

sin(nx) is oneven, dus als je dit vermenigvuldigt met een even functie f(x) is het product oneven. De integraal levert dan nul op (symmetrische grenzen: -pi en pi). b_n is dan dus nul.
Analoog voor f(x) is oneven.
Bedoel je dit, okej26?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

okej26

    okej26


  • >100 berichten
  • 211 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 februari 2008 - 17:27

Ja, je hebt zoiets als coefficienten a_n en b_n gegeven door
LaTeX


LaTeX

sin(nx) is oneven, dus als je dit vermenigvuldigt met een even functie f(x) is het product oneven. De integraal levert dan nul op (symmetrische grenzen: -pi en pi). b_n is dan dus nul.
Analoog voor f(x) is oneven.
Bedoel je dit, okej26?

Dit is inderdaad wat ik bedoelde. Het komt er dus op neer als het product oneven is dan gebruik je b_n (de sinusreeks) want a_n (de cosinusreeks) is dan 0. Hetzelfde geld dus voor het tegenovergestelde? Want dan snap ik tenminste waar ze die vergelijkingen opeens vandaan halen bij het gebruik van fourierreeksen met warmtevergelijkingen.

Als de f(x) nu gelijk is aan een andere waarde dan een cosinus of sinus functie hoe weet je dan of het een oneven of even functie is? Bijvoorbeeld als f(x)=x of f(x)=1?

#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 februari 2008 - 17:37

Een even functie voldoet aan y(-x)=y(x), een oneven voldoet aan y(-x)=-y(x).

De functie y(x)=x^2 is even, immers y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x).
De functie y(x)=x is oneven, immers y(-x)=-x=-y(x).

Zo is ook cos(-x)=cos(x) dus cos(x) is even, en sin(-x)=-sin(x) dus sin(x) is oneven.
Het product van een oneven functie en een even functie is oneven (bijv. voor g(x)=g(-x) en h(x)=-h(-x): het product k(x)=g(x)h(x) voldoet aan k(-x)=g(-x)h(-x)=g(x)(-h(x))=-k(x) en dus is k(x) oneven).
Het product van 2 even functies is even.
Het product van 2 oneven functies is even.

Dat gezegd hebbende, weet je dat de integraal van een oneven functie op een symmetrisch interval nul oplevert, aangezien de functie voor negatieve x gelijk is aan MIN de functie voor positieve x. Opgeteld levert dit dus nul op.
Zo is bijv. LaTeX . Als je de grafiek tekent wordt dat direct duidelijk.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

okej26

    okej26


  • >100 berichten
  • 211 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 februari 2008 - 18:08

Een even functie voldoet aan y(-x)=y(x), een oneven voldoet aan y(-x)=-y(x).

De functie y(x)=x^2 is even, immers y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x).
De functie y(x)=x is oneven, immers y(-x)=-x=-y(x).

Zo is ook cos(-x)=cos(x) dus cos(x) is even, en sin(-x)=-sin(x) dus sin(x) is oneven.
Het product van een oneven functie en een even functie is oneven (bijv. voor g(x)=g(-x) en h(x)=-h(-x): het product k(x)=g(x)h(x) voldoet aan k(-x)=g(-x)h(-x)=g(x)(-h(x))=-k(x) en dus is k(x) oneven).
Het product van 2 even functies is even.
Het product van 2 oneven functies is even.

Dat gezegd hebbende, weet je dat de integraal van een oneven functie op een symmetrisch interval nul oplevert, aangezien de functie voor negatieve x gelijk is aan MIN de functie voor positieve x. Opgeteld levert dit dus nul op.
Zo is bijv. LaTeX

. Als je de grafiek tekent wordt dat direct duidelijk.



Kijk aan nu begint het echt duidelijk te worden. Klopt het trouwens dat als je integreert van 0 tot L er voor oneven functies geen a_0 is en bij even functies wel?

#8

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 februari 2008 - 19:04

Kijk aan nu begint het echt duidelijk te worden. Klopt het trouwens dat als je integreert van 0 tot L er voor oneven functies geen a_0 is en bij even functies wel?

Ja, want bij een oneven functie vallen de twee oppervlakken tegen elkaar weg.
Quitters never win and winners never quit.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures