Springen naar inhoud

[Wiskunde] Determinanten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dritje

    dritje


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 februari 2008 - 22:22

1) Toon aan dat de vergelijking
|x y 1 |
|x1 y1 1 | = 0
|x2 y2 1 |
de determinantvorm is van de Carthesische vergelijking van de rechte PQ met P(x1,y1) en Q(x2,y2).

2) Toon aan dat de oppervlakte van de driehoek PQR met P(x1,y1), Q(x2,y2) en R(x3,y3) gegeven wordt door de formule
...................................... x1 y1 1
opp(driehoek)PQR = 1/2 | x2 y2 1 |
...................................... x3 y3 1
(de puntjes dienen om alles op z'n plaats te krijgen)

Dit zijn oefeningen die we in de les niet hebben behandeld; zou iemand me op weg kunnen zetten?
danku

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2008 - 22:48

Dit soort oefeningen hoort in het huiswerkforum, ik heb je topic verplaatst.

Wat heb je al geprobeerd of waar zit je vast?

Voor de eerste opgave: werk de determinant eens uit. Je zal vrij eenvoudig kunnen zien dat je de vergelijking van een rechte krijgt. Laat zien dat de punten P en Q met de gegeven co÷rdinaten oplossingen zijn van de verkregen vergelijking.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

dritje

    dritje


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 februari 2008 - 23:37

dan kom ik een lange vergelijking uit, maar er moet toch meer zijn dan alleen maar uitwerken?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2008 - 23:59

Lange vergelijking?

Gebruik eerst eigenschappen van determinanten, trek van de tweede en de derde rij, de eerste af. Ontwikkel dan de determinant naar de laatste kolom.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

dritje

    dritje


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2008 - 12:58

ik bekom

xy1 + x1y2 + x2y - x2y1 - xy2 - x1y

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2008 - 13:05

Het was een vergelijking, dus de "= 0" ontbreekt nog pi.gif

Kijk eens of P op deze rechte ligt door x en y te vervangen door respectievelijk x1 en y1. Normaal gezien is er dan aan de vergelijking voldaan. Hetzelfde geldt voor Q met co÷rdinaten (x2,y2), ga dat zelf even na.
Alternatieve methode: herschrijf de vergelijking die je bekwam naar de standaardvorm voor de vergelijking van een rechte door twee gegeven punten met co÷rdinaten (x1,y1) voor P en (x2,y2) voor Q.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

dritje

    dritje


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2008 - 13:10

dus als ik nu die x'en en y's door x1 en y1 vervang (dus voor het punt P)
dan schrap ik alles zomaar weg?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2008 - 13:11

Dan blijkt alles weg te vallen, je vindt dus inderdaad 0. Het punt voldoet met andere woorden aan de vergelijking en ligt dus op de rechte. Stel dat de vergelijking van een zekere rechte gegeven wordt door:

ax + by = c

Als je wil weten of een punt met co÷rdinaten (r,s) op de rechte ligt, dan vervang je x door r en y door s. Als ar+bs gelijk is aan c, dan is voldaan aan de vergelijking. Het punt ligt dan op de rechte. Snap je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

dritje

    dritje


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2008 - 14:31

ik snap het !! pi.gif danku !

Heeft u ook een idee over de tweede vraag?
Of is dit gelijkaardig zoals de eerste?
De determinant uitrekenen en dan bekom je een vergelijking en dan moet je weer elk punt invullen.
Maar dan heb je denk ik nog niet bewezen dat het een formule is voor de oppervlakte van een driehoek.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2008 - 14:33

Punten invullen heeft bij de tweede opgave geen zin, er zijn ook geen variabelen!
Je werkt de determinant opnieuw uit, eventueel door eerst eigenschappen te gebruiken.
Bereken vervolgens zelf de oppervlakte van de driehoek, op een andere manier.
Probeer ten slotte aan te tonen dat de twee uitdrukkingen die je krijgt, gelijk zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2008 - 14:40

uitrekenen, en dan zien dat het de oppervlakte is door gebruik te maken van trapezia
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#12

dritje

    dritje


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2008 - 16:18

dus als ik deze determinant uitreken, bekom ik veel x'en en y'en ...
en deze uitkomst moet ik gelijkstellen aan een andere?
Ik heeft zeker iets te maken met basis X hoogte : 2
Maar verder zie ik het niet

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2008 - 16:20

Als ik je drie willekeurige punten geef, kan je dan de oppervlakte bepalen van de driehoek die hierdoor gevormd wordt? Dus zonder die determinant, gewoon met de formules en technieken die je kent.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

dritje

    dritje


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2008 - 16:25

Ik heb ooit wel eens geleerd hoe dat moet, maar voor de moment zou ik het niet weten...
Was er niets met sinusregel enz?

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2008 - 16:45

Dan lijkt de aanpak van jhnbk een goede methode. Teken drie willekeurige punten:

y2 |		o (B)
   |
y3 |			 o (C)
   |
y1 |	o (A)
   |
   -----------------
		x1  x2   x3

Van links naar rechts noem ik de punten A(x1,y1), B(x2,y2) en C(x3,y3).

Beschouw dan de volgende twee trapezia:
- T1 gevormd door de y-as, de loodlijnen uit A en B op de y-as en het lijnstuk AB,
- T2 gevormd door de x-as, de loodlijnen uit A en C op de x-as en het lijnstuk AC.
Beschouw ook nog deze twee delen:
- de rechthoek R gevormd door de assen en de loodlijnen vanuit A op de x- en y-as,
- de driehoek D die rechtsboven gevormd wordt door B, C en nog het punt (x3,y2).

Je vindt nu de oppervlakte van de driehoek door te vertrekken van de groote rechthoek met basis x3 en hoogte y2, dus als oppervlakte x3*y2. Wat heb je nu teveel gerekend? Precies de trapezia T1 en T2, de rechthoek R en de driehoek D. Hiervan zou je allemaal de oppervlakte moeten kunnen bepalen in functie van de co÷rdinaten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures