Ik bewijs uit het ongerijmde dat er geen "volgend rationaal getal" bestaat. Onder volgend bedoelen we allebei, denk ik, groter dan het vorige zonder dat er een ander rationaal getal bestaat dat er nog tussen ligt.Men kan de rationale getallen niet opschrijven van klein naar groot, omdat men het volgend rationaal getal van een rationaal getal niet kent; dit wil natuurlijk niet zeggen dat het niet bestaat.
Neem een vast rationaal getal p en een zeker rationaal getal q > p. Veronderstel dat q het "volgend rationaal getal" is. Beschouw nu het getal (p+q)/2. Dit getal is rationaal en bovendien geldt: p < (p+q)/2 < q, bijgevolg was q niet het volgende.
Begrijp je dit bewijs?
Dit argument klopt niet, dat probeerde ik je daarnet al te vertellen. Noem de rij u(n) met n natuurlijk. Het is niet omdat n+1 > n, dat u(n+1) > u(n) geldt. De rij van rationale getallen zal prima kunnen doorlopen, maar niet strikt stijgend zijn.Het moet trouwens bestaan want als men in de gelegde bijectie een bepaald natuurlijk getal laat corresponderen met een bepaald rationaal getal dan laat ik het volgend natuurlijk getal corresponderen met het juist daaropvolgend rationaal getal, dat wel ietsje groter moet zijn want anders kan men de rij van de rationale getallen niet doorlopen.
Volgens mij maak je een fundamentele denkfout die ik eerder al aanhaalde: het is niet omdat
en pi.gif dezelfde kardinaliteit hebben, dat ook alle andere eigenschappen van 
naar 
worden overgedragen of omgekeerd.
