Wetenschapsforum

Zij volgende functie f(x)=0 als x rationaal is en 1 als x irrationaal is. Is ze continu of discontinu in R of ....

Overal discontinu: tussen twee rationale getallen bevinden zich oneindig veel irrationale getallen en omgekeerd.

Als ik de definitie toepas ben ik meer geneigd te zeggen dat ze discontinu is in de rationale punten en continu in de irrationale punten. M.a.w. zij is discontinu en continu in geisoleerde punten (continuiteitsaxioma).

Het probleem is dat als p een irrationeel punt is, je nooit een omgeving van p kan vinden die uit louter irrationele punten bestaat, zoals TD ook al zei. Dit omdat de rationele getallen dicht liggen in de reële getallen. Met behulp van de topologische definitie is het het gemakkelijkst aan te tonen dat f ook in p irrationeel is. In de topologie heet een functie f:X->Y continu in een punt x indien er voor elke open omgeving V van f(x) er een open omgeving U van x is zodat , oftewel dat f(U) een deelverzameling van V is. (Let op het cursieve "voor elke").

Dit is de meest algemene definitie voor continuiteit in een punt. Alle andere definities zijn hier uit af te leiden.

Laten we dit toepassen op ons irrationele punt p.

f(p)=1, want p is irrationeel. Neem nu een open interval V rondom 1, zodat V het getal 0 niet bevat. Bijvoorbeeld neem V=(0,2). Nu elk open interval U dat p bevat, bevat ook een rationeel punt. Derhalve en omdat 0 niet in V zit hebben we dus niet dat f(U) een deelverzameling van V is.

Omdat we dus een omgeving V van f(p) hebben gevonden waarvoor geldt dat er geen enkele omgeving U van p binnen V afgebeeld wordt, is f discontinu in p.

Zie voor de formele definitie van topologische continuïteit in een punt deze link.

Met behulp van de topologische definitie is het het gemakkelijkst aan te tonen dat f ook in p irrationeel is.

Je bedoelt hier natuurlijk dat f in p (met p irrationaal), discontinu is.

Als je het graag met een epsilon-delta argument ziet (zoals The Black Mathematician al zei, dit is equivalent met de topologische definitie die hij gaf), neem x = p irrationaal, dan is f(p) = 1. Het volstaat epsilon < 1 te nemen (bijvoorbeeld 1/2). Omdat de rationale getallen dicht zijn in pi.gif , vind je voor elke delta > 0 wel een rationaal getal in die delta-omgeving van p, waarvoor de functiewaarde (die 0 is) meer dan epsilon verschilt van 1.

The Black Math... schreef:

Het probleem is dat als p een irrationeel punt is, je nooit een omgeving van p kan vinden die uit louter irrationele punten bestaat,

We weten dat volgens het continuiteitsaxioma de rationale getallen de rechte niet volledig opvult, dus tussen twee opeenvolgende rationale getallen is er vrije ruimte, die opgevuld wordt door irrationale getallen. Nemen we nu een irrationeel getal p gelegen tussen 2 opeenvolgende rationale getallen, dan zijn er oneindig veel omgevingen rond p te vinden die alleen irrationele getallen bevatten.

Het probleem met je redenering is: er zijn geen twee opeenvolgende rationale getallen.

Stel dat die er zijn en noem ze a en b, dan is (a+b)/2 ook rationaal en ertussen gelegen.

Ook de irrationale getallen 'vullen de reële rechte' niet helemaal op, de rationale ontbreken.

Tussen twee irrationale getallen, zit ook altijd een rationaal getal (oneindig veel zelfs).

TD schreef:Je bedoelt hier natuurlijk dat f in p (met p irrationaal), discontinu is.

[...]

Ja, sorry.

TD schreef:

Het probleem met je redenering is: er zijn geen twee opeenvolgende rationale getallen.

Stel dat die er zijn en noem ze a en b, dan is (a+b)/2 ook rationaal en ertussen gelegen.

Hier is op het eerste zicht weinig tegen in te brengen.

Maar de rationale getallen zijn aftelbaar, dan zouden er dus geen twee opeenvolgende natuurlijke getallen zijn. Wat doet ge hiermee?

Waarom zouden er geen opeenvolgende natuurlijke getallen kunnen zijn? Deze redenering gaat ook niet op: het is niet omdat twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben (zoals de natuurlijke getallen en de rationale getallen), dat ze ook dezelfde eigenschappen hebben! Zo zijn de natuurlijke getallen bijvoorbeeld niet dicht in pi.gif , en dat is net essentieel voor dit probleem.

Begrijp ik niet. Is dicht in ?

Ja, dat is wat The Black Mathematician ook al in z'n eerste bericht schreef. Zie ook hier.

Ik meen de topologische definitie van continuiteit te begrijpen. Met de definitie van 'dense set' heb ik wat meer moeilijkheden.

Maar toch vraag ik mij af wat er mis is aan volgende redenering:
hebben hetzelfde cardinaalgetal d.w.z. men kan tussen beide een bijectie leggen. Door het feit dat er twee opeenvolgende natuurlijke getallen zijn; zijn er dus twee opeenvolgende rationale getallen en geldt dus de redenering, die ik vroeger al heb gedaan.

Op jouw redenering dat het gemiddelde een rationaal getal is dat tussen de twee eerst gekozen opeenvolgende liggen, kan ik zeggen dat ik nu terug twee nieuwe opeenvolgende heb enz. We weten dat het oneindig kleine een eigenaardig beest is.

kotje schreef:Maar toch vraag ik mij af wat er mis is aan volgende redenering:

\(\nn\mbox{ en }\qq\)

hebben hetzelfde cardinaalgetal d.w.z. men kan tussen beide een bijectie leggen.

Dit klopt nog: je kan de rationale getallen dus inderdaad in een aftelbaar rijtje schrijven.

Door het feit dat er twee opeenvolgende natuurlijke getallen zijn; zijn er dus twee opeenvolgende rationale getallen

Dit klopt in die zin dat in die rij van de rationale getallen, een volgorde zit. Maar dan zeg je:

en geldt dus de redenering, die ik vroeger al heb gedaan.

En dat klopt niet. De rij van rationale getallen die je kan maken, is geen (strikt) stijgende rij zoals de natuurlijke getallen 1,2,3,... Met andere woorden: voor twee "opeenvolgende rationale getallen" (in de zin dat ze na elkaar volgen in een zekere rij waar je de rationale getallen mee voorstelt) geldt niet dat de volgende steeds groter is dan de vorige. Voor een gegeven rationaal getal, bestaat er geen "volgend rationaal getal" in de zin zoals bij de natuurlijke getallen.

De rij van rationale getallen die je kan maken, is geen (strikt) stijgende rij zoals de natuurlijke getallen 1,2,3,... Met andere woorden: voor twee "opeenvolgende rationale getallen" (in de zin dat ze na elkaar volgen in een zekere rij waar je de rationale getallen mee voorstelt) geldt niet dat de volgende steeds groter is dan de vorige. Voor een gegeven rationaal getal, bestaat er geen "volgend rationaal getal" in de zin zoals bij de natuurlijke getallen.

Men kan de rationale getallen niet opschrijven van klein naar groot, omdat men het volgend rationaal getal van een rationaal getal niet kent; dit wil natuurlijk niet zeggen dat het niet bestaat. Het moet trouwens bestaan want als men in de gelegde bijectie een bepaald natuurlijk getal laat corresponderen met een bepaald rationaal getal dan laat ik het volgend natuurlijk getal corresponderen met het juist daaropvolgend rationaal getal, dat wel ietsje groter moet zijn want anders kan men de rij van de rationale getallen niet doorlopen.