Springen naar inhoud

De functie van Diriclet


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 12 februari 2008 - 21:04

Zij m=1,2,3,...
Zij LaTeX
Bepaal LaTeX

Veranderd door kotje, 12 februari 2008 - 21:06

Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 februari 2008 - 21:07

Zoek je hier een afleiding van? Je titel verklapt het antwoord natuurlijk, zie ook hier.

Je weet dat |cos(f(x))| schommelt tussen 0 en 1. Voor welke f(x) is dit 1?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 13 februari 2008 - 08:37

Een rigoureuze afleiding zal misschien wel moeilijk zijn?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 februari 2008 - 09:04

Het is maar wat je rigoureus noemt.

Als x rationaal is, zal m!*x geheel worden voor voldoende grote m. Het argument van de cosinus wordt dan een geheel veelvoud van pi, dus de cosinus wordt 1 of -1. Door de even macht, is het geheel dan 1.
Als x irrationaal is, zal m!*x nooit geheel worden voor eender welke m, het argument wordt nooit een geheel veelvoud van pi dus de cosinus zal in absolute waarde steeds kleiner zijn dan 1. Dit tot een willekeurig grote macht, gaat naar 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 13 februari 2008 - 10:21

Ik meen dat dit de zaak oplost. Als x rationaal is zal de noemer voor voldoende grote m wegvallen en zal m!pix geheel zijn en krijgen we voor een even macht van de cos altijd 1. Dus we krijgen als limiet de functie van Diriclet.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 februari 2008 - 10:29

Inderdaad, terwijl we bij de irrationale x nooit een breuk b kunnen vinden zodat bx geheel is; vandaar naar 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2008 - 08:29

De laatste regel in de link van TD! luidt:
"This is often given as the (amazing!) example of a sequence of everywhere-continuous functions whose limit function is nowhere continuous."
Dit is pertinent onjuist!

Voor de goede orde: De functie waar we het over hebben wordt doorgaans geschreven als LaTeX of LaTeX .

Eigenschap: De limiet van een (puntsgewijs convergerende) rij continue functies heeft een dichte verzameling continuiteitspunten.
(In vaktaal: limieten van continue functies heten te zijn van de eerste klasse van Baire).

Wat Dirichlet in een klap aantoont is dat LaTeX van de tweede klasse van Baire is.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2008 - 10:53

Ik volg nog niet helemaal: wat klopt er nu precies niet aan die laatste regel?
Begrijp ik het goed dat als de limiet (Dirichlet) van klasse 2 is, dat de het om een rij functies van klasse 1 gaat (die dus niet overal continu zijn)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2008 - 11:28

Je kunt aantonen: Als LaTeX de limiet is van een rij continue functies, dan vormen de continuiteitspunten van LaTeX een dichte verzameling.
De continuiteitspunten van LaTeX vormen een lege verzameling, dus kan LaTeX NIET de limiet zijn van een rij continue functies.

LaTeX is de verzameling van functies die een limiet zijn van een rij continue functies (1-ste klasse van Baire).
LaTeX is de verzameling van functies die een limiet zijn van een rij functies van de 1-ste klasse van Baire.

LaTeX .

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2008 - 11:30

Zo had ik het ook begrepen, maar dat betekent dus dat de rij functies waar we het in dit geval over hebben Baire-1 zijn (en dus niet, zoals in die laatste regel staat, overal continu).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2008 - 11:35

Correct

De continuiteitspunten van een functie uit LaTeX hebben nog de volgende eigenschappen:
Ze vormen een magere verzameling, en ze kunnen geschreven worden als een aftelbare vereniging van gesloten verzamelingen (een LaTeX ).

Toepassing: De afgeleide van een differentieerbare functie zit in LaTeX .

Veranderd door PeterPan, 14 februari 2008 - 11:38


#12

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2008 - 11:54

De niet-wiskundigen zullen dit misschien handig vinden.

For example, discontinuous functions representable by Fourier series belong to class 1.

http://mathworld.wol...reFunction.html

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2008 - 12:27

Dat verhaal zit vol met fouten :D . Niet naar kijken is de beste remedie.

#14

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2008 - 13:05

Is de bewering dat LaTeX correspondeert met discontinue functies die door fourierseries kunnen worden voorgesteld foutief? Gezien de fourier-aard van de openingspost lijkt dit me een relevante uitspraak.

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2008 - 13:36

fourierreeksen behoren tot LaTeX . De rest van het verhaal zit vol onwaarheden.
Hier maar even wat verduidelijking.
LaTeX is de verzameling van continue functies (op een samenhangend domein, b.v. LaTeX ).
LaTeX is de verzameling van limieten van functies uit LaTeX
LaTeX is de verzameling van limieten van functies uit LaTeX
LaTeX is de verzameling van limieten van functies uit LaTeX
enz.
LaTeX
LaTeX

LaTeX is de verzameling van limieten van functies uit LaTeX
Zo kunnen we vormen
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
enz. enz. enz. enz. enz.

Steeds geldt als LaTeX , dan is LaTeX en LaTeX .
Bekijk nu de verzameling LaTeX van alle functies die tot een of andere Baireklasse behoren.
Het blijkt dat LaTeX de verzameling van Lebesgue meetbare functies is.
(Het bewijs is zeer elegant. Het bewijs de andere kant op gaat via catalogisering en is elegant maar behoorlijk pittig).

Veranderd door PeterPan, 14 februari 2008 - 13:39






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures