Springen naar inhoud

I=r


  • Log in om te kunnen reageren

#1

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2008 - 20:20

Gegeven dat I een interval is van R (verzameling van de reŽle getallen), en dat I naar boven en onder onbegrensd is. Bewijs dat I=R.

Hoe bewijst men precies de inclusie van R in I?
Ik deed het zo:
Natuurlijk nemen we een willekeurig element a in R. Omdat I naar boven onbegresd is, is er een element y in I zodat a<y, analoog met x<a. En nu ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 februari 2008 - 20:55

Voor de inclusie van :D in I wil je aantonen dat elke x uit :D, ook in I zit. Neem een vaste a uit :D. Omdat I niet naar boven begrensd is, kun je inderdaad een y in I vinden zodat a<y. Bovendien kan je een x in I vinden zodat x<a, omdat I niet naar beneden begrensd is. Je hebt dus x<a<y met x,y in I; dus a ook in I. Wat zoek je meer?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2008 - 21:16

Dat dacht ik ook, ik wou gewoon zeker zijn.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 februari 2008 - 21:21

Je kan het(zelfde...) argument ook wat draaien en keren, bijvoorbeeld door het uit het ongerijmde te doen. Neem a uit :D en veronderstel dat het niet in I zit. Je kan dan aantonen dat I niet begrensd kan zijn (toch niet naar boven ťn naar beneden), hetgeen strijdig is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2008 - 21:47

Mooi, bedankt. : )

#6

A.Square

    A.Square


  • >250 berichten
  • 251 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2008 - 01:32

Hier een schets van een geestig bewijs. (niet handig, alleen maar geestig)
- Bewijs dat I een lineaire deelruimte van R is.
- Laat zien dat dim(I)=dim®=1
- QED

Een ander soortgelijk bewijs, maar iets fundamenteler:
- Bewijs dat I een vectorruimte is over R
- Laat ziend dat dim(I)=dim®
- Twee vectorruimtes met gelijke dimensie zijn isomorf.
- Laat zien dat doorsnede(I,R) niet leeg is.
- Twee isomorfe vectorruimte over hetzelfde lichaam met tenminste een overeenkomstige vector zijn gelijk.
- QED

(Dit tweede bewijs maakt niet direct gebruik van het feit dat I deelruimte is van R)

Nogmaals, dit is niet zinnig maar het is altijd leuk om verschillende vakgebieden met erlkaar vervlochten te zien.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures