Wetenschapsforum

jan_alleman

Gegeven dat I een interval is van R (verzameling van de reële getallen), en dat I naar boven en onder onbegrensd is. Bewijs dat I=R.

Hoe bewijst men precies de inclusie van R in I?

Ik deed het zo:

Natuurlijk nemen we een willekeurig element a in R. Omdat I naar boven onbegresd is, is er een element y in I zodat a<y, analoog met x<a. En nu ?

TD

Voor de inclusie van

in I wil je aantonen dat elke x uit

, ook in I zit. Neem een vaste a uit

. Omdat I niet naar boven begrensd is, kun je inderdaad een y in I vinden zodat a<y. Bovendien kan je een x in I vinden zodat x<a, omdat I niet naar beneden begrensd is. Je hebt dus x<a<y met x,y in I; dus a ook in I. Wat zoek je meer?

jan_alleman

Dat dacht ik ook, ik wou gewoon zeker zijn.

TD

Je kan het(zelfde...) argument ook wat draaien en keren, bijvoorbeeld door het uit het ongerijmde te doen. Neem a uit

en veronderstel dat het niet in I zit. Je kan dan aantonen dat I niet begrensd kan zijn (toch niet naar boven én naar beneden), hetgeen strijdig is.

jan_alleman

Mooi, bedankt. : )

A.Square

Hier een schets van een geestig bewijs. (niet handig, alleen maar geestig)

- Bewijs dat I een lineaire deelruimte van R is.

- Laat zien dat dim(I)=dim®=1

- QED

Een ander soortgelijk bewijs, maar iets fundamenteler:

- Bewijs dat I een vectorruimte is over R

- Laat ziend dat dim(I)=dim®

- Twee vectorruimtes met gelijke dimensie zijn isomorf.

- Laat zien dat doorsnede(I,R) niet leeg is.

- Twee isomorfe vectorruimte over hetzelfde lichaam met tenminste een overeenkomstige vector zijn gelijk.

- QED

(Dit tweede bewijs maakt niet direct gebruik van het feit dat I deelruimte is van R)

Nogmaals, dit is niet zinnig maar het is altijd leuk om verschillende vakgebieden met erlkaar vervlochten te zien.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

I=r

I=r

Re: I=r

Re: I=r

Re: I=r

Re: I=r

Re: I=r