Springen naar inhoud

Functie van exponentiele orde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 februari 2008 - 21:22

Ik quote mijn handboek:

'Functie van exponentiŽle orde: We zeggen dat de functie f(t) van exponentiŽle orde is op het interval [0, oneindig) indien er contstanten C en alpha bestaan, zodat dat
|f(t)| is kleiner of gelijk aan C.e^(alpha.t) , voor alle t > 0

Voorbeeld: De functies t^n, e^(at), sin(bt), cos(bt), (t^n).(e^(at)).cos(bt) zijn allen van exponentiŽle orde, de functie exp(t≤) is dit niet.'

/end quote

Nu is mijn vraag bij dat voorbeeld, hoe komt het dat die reeks van voorbeelden van exponentiŽle orde zijn en die e^(2t) niet? Ik snap de definitie eigenlijk maar half, misschien zou iemand me kunnen helpen door 1 van de voorbeelden toe te passen op de definitie?

Grtz
Niet weten is geen schande, niet willen weten wťl, en persť beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2008 - 21:31

Probeer de definitie in woorden te begrijpen, dat geeft misschien wat meer inzicht. Een functie is van exponentiŽle orde, als de functie "gedomineerd" wordt door een exponentiŽle functie (vermenigvuldigd met een zekere factor en met een parameter in de exponent). Als je voor een functie f(t) dus een exponentiŽle functie van de vorm c.exp(at) kan vinden zodat |f(t)| overal kleiner is dan (of gelijk aan) die exponentiŽle, dan noemen we zo'n functie van exponentiŽle orde.
Grafisch kan je dit als volgt interpreteren: begin met een functie f(t) en neem er de absolute waarde van (dus overal positief), |f(t)|. Deze functie is van exponentiŽle orde als er c en a bestaan zodat de grafiek van c.exp(at) overal boven die van |f(t)| ligt. Dit is mogelijk voor de gegeven voorbeelden, maar niet voor exp(t≤).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 februari 2008 - 21:44

Door het grafisch voor te stellen zie ik het wel van sin(at) en cos(bt), maar niet voor die andere voorbeelden.. Sin(bt) en cos(bt) maken eigenlijk hobbels; zoals de baan die een punt van een wiel beschrijft die een rechtlijnige beweging uitvoert. Er is dus een maximale waarde voor die functies. Maar voor functies zoals t^n kun je toch oneindig bekomen? Want n kan een willekeurig getal zijn. Voor n = 2 bijvoorbeeld kun je een waarde voor C en alpha kiezen zodat |f(t)| dan kleiner is, dus |t≤| is kleiner of gelijk aan C.e^(alpha.t), maar dat is niet voor alle waarden van n zo, want dan zal er weer een waarde voor n bestaan zodat t^n groter is. Hetzelfde voor de andere exponentiŽle functies.

Als dat onduidelijk was, probeer ik het met het voorbeeld (t^n).(e^(at)). Hier kan a gelijk gesteld worden aan alpha zodat zowel in het linker als in het rechterlid e^(at) aanwezig is, maar zolang t^n groter is als C is het linkerlid groter.

Veranderd door bibliotheek357, 19 februari 2008 - 21:45

Niet weten is geen schande, niet willen weten wťl, en persť beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2008 - 21:48

Sinus en cosinus oscilleren, dat is inderdaad nog vrij eenvoudig te zien.

Dat alle rationale functies (t^n) ook van exponentiŽle orde zijn, volgt uit het feit dat een e-macht sneller stijgt. Uitgedrukt als een limiet, voor alle n en a>0 geldt:

LaTeX

Voor exponentiŽle functies lijkt het me eenvoudig, want in de definitie is gelijkheid toegestaan. Neem dus gewoon dezelfde exponentiŽle functie om de orde aan te tonen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 februari 2008 - 21:52

Oke, dus eigenlik bv bij (t^n).(e^(at)).sin(bt) de e^(at) gelijkstellen aan e^(alpha.t) en (t^n).sin(bt) gelijkstellen aan C?

Als dat het geval is, waarom is exp(t≤) aka e^(2t) dan NIET van exponentiŽle orde? e^(2t) is toch van de vorm e^(at)?
Niet weten is geen schande, niet willen weten wťl, en persť beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2008 - 21:57

Oke, dus eigenlik bv bij (t^n).(e^(at)).sin(bt) de e^(at) gelijkstellen aan e^(alpha.t) en (t^n).sin(bt) gelijkstellen aan C?

Dat bedoelde ik niet, ik dacht dat je het enkel over een exponentiŽle functie had (dan kan je gewoon die functie zelf nemen om mee te vergelijken). Voor dit product gaat dat niet meer, het is ook niet altijd mogelijk om eenvoudig de C en alpha te bepalen.
Je kan echter wel eenvoudig inzien dat als functies van exponentiŽle orde zijn, dat hun product dat dan ook is. Immers, als je |f| kan afschatten door A.exp(at) en |g| door B.exp(bt), dan is |fg| zeker af te schatten door ABexp((a+b)t); snap je?

Als dat het geval is, waarom is exp(t≤) aka e^(2t) dan NIET van exponentiŽle orde? e^(2t) is toch van de vorm e^(at)?

Maar e^(2t) is niet hetzelfde als e^(t≤)...! Je verwart dit misschien met (e^t)≤, hetgeen e^(2t) is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2008 - 22:01

exp(t^2) IS NIET GELIJK AAN exp(2t)!!

//edit: een beetje laat zie ik...
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 februari 2008 - 22:06

Ik snap wel dat die samenstelling van exponentiŽle orde is als ik van je aanneem dat t^n en e^(at) van exponentiŽle orde is. Ik kan aannemen dat er een waarde C en een waarde alpha bestaat waarvoor ook t^n en e^(at) kleiner of gelijk zijn. Wat ik echter niet snap is waarom exp(t^2) dit niet is (was inderdaad geen exp^(2t), foutje van me :D ).

Stel dat t = 2:
exp(4) is kleiner of gelijk aan C.e^(alpha . 2)
Ik kan hier toch een waarde voor C en voor alpha kiezen zodanig dat de bewering klopt?

EDIT: het spijt me als ik van een mug een olifant maak hier, maar ik doe echt mijn best om het te snappen..

Veranderd door bibliotheek357, 19 februari 2008 - 22:07

Niet weten is geen schande, niet willen weten wťl, en persť beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2008 - 22:12

Ik snap wel dat die samenstelling van exponentiŽle orde is als ik van je aanneem dat t^n en e^(at) van exponentiŽle orde is.

Dat hoef je toch niet aan te nemen? Als je de limiet die ik eerder gaf begrijpt, dan zie je dat een exponentiŽle functie een rationale functie zal domineren. Dit geldt alvast op oneindig, maar voor elk interval [a,b] kan je die voorfactor C groot genoeg kiezen zodat de exponentiŽle daar groter is dan de waarde van t^n.
Voor de exponentiŽle functie e^(at) zelf, is het nog eenvoudiger. Neem gewoon C = 1 en a = alpha, dan geldt inderdaad dat |e^(at)| :D C.e^(alpha.t), want ze zijn over gelijk (en dus is die oorspronkelijke exponentiŽle functie, ook van exponentiŽle orde).

Wat ik echter niet snap is waarom exp(t^2) dit niet is (was inderdaad geen exp^(2t), foutje van me :D ).

Stel dat t = 2:
exp(4) is kleiner of gelijk aan C.e^(alpha . 2)
Ik kan hier toch een waarde voor C en voor alpha kiezen zodanig dat de bewering klopt?

Je kan inderdaad voor dit bijzondere geval een goede C en alpha vinden, maar daarmee is er nog niet voldaan aan de definitie. Deze eist namelijk dat C.exp(alpha.t) voor alle t moet domineren, en dat zal hier niet lukken. Het volstaat immers om t voldoende groot te nemen, opdat exp(t≤) groter wordt dan C.exp(alpha.t); als limiet uitgedrukt:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 februari 2008 - 22:22

Met andere woorden, de convergentiesnelheid mag niet nul zijn? Als de functie f(t) trager of even snel divergeert naar oneindig als C.e^(alpha . t), dan is het van exponentiŽle orde? Indien dit het geval is snap ik het. Anders ga ik het toch aan de professor moeten vragen. (wat moeilijk is omdat hij het altijd druk heeft en emails worden beantwoord in minstens een week)
Ik apprecieer je geduld en hulp enorm! :D
Niet weten is geen schande, niet willen weten wťl, en persť beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2008 - 22:25

Ik weet niet hoe je het begrip "convergentiesnelheid" precies bedoelt (definieert), maar ik denk wel dat je begrijpt wat exponentiŽle orde nu (ongeveer) is :D
Het volstaat natuurlijk niet dat een functie alleen trager divergeert, want de functie zou bijvoorbeeld bij een zekere reŽle x ook kunnen divergeren (bij het bestaan van verticale asymptoot bijvoorbeeld), maar dat snap je wel? Voor een rationale functie zoals t^n (of de andere brave continue functies in de voorbeelden) stelt zich dat probleem natuurlijk niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 februari 2008 - 22:36

Convergentiesnelheid was misschien niet de geschikte term, maar het komt er toch op neer dat als x naar oneindig gaat, dat f(t) trager moet divergeren dan het rechterlid (dus de limiet is niet gelijk aan nul). Een verticale asymptoot bestaat voor een specifieke waarde voor x en dus niet voor x naar oneindig. Dat is toch hetgene waar ik op moest letten? bv dat sin(bt)/(x-9) niet van exponentiŽle orde is
Niet weten is geen schande, niet willen weten wťl, en persť beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2008 - 22:38

Inderdaad, want in de buurt van x = 9 zal die functie "ontploffen" en dus niet af te schatten zijn door een continue functie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 februari 2008 - 22:40

Okee, even de uitleg in mijn boek schrijven :D

Hartelijk bedankt!
Niet weten is geen schande, niet willen weten wťl, en persť beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2008 - 22:41

Graag gedaan. Verderop komt misschien de Laplacetransformatie? Daar spelen functies van exponentiŽle orde namelijk een belangrijke rol. Of zie je dit misschien in een andere context? In elk geval succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures