Abstracte definities en voorstellingswijzen

Scofield

Ik heb een vraag over hoe ver de abstractie gaat als het gaat om het voorstellen van bepaalde binnen de algebra. Bv. er wordt gesproken van vectorruimte, waarbij de elementen moeten voldoen aan bepaalde eigenschappen. Nu zegt men dat een element van een vectorruimte een vector is, maar je mag niet denken aan het "pijltje" dat we zo goed kennen van de fysica. Het gaat puur om verzamelingen met bepaalde eigenschappen en elementen die daaraan voldoen. Nu vraag ik mij af of dit in constant binnen de algebra wordt gedaan en dat je dus eigenlijk niets mag/kunt voorstellen, want dit lijkt mij verdomd irritant aangezien ik niet anders doe binnen de wiskunde?

TD

Het is niet verboden om de definities intuïtief proberen te snappen, je mag je daarbij gerust iets proberen voor te stellen. Alleen: dat is niet altijd evident en het nadeel is dat sommigen in hun 'drang' naar een eenvoudige voorstellingswijze, fouten maken. Om te voorkomen dat je oversimplificeert, wordt wel eens de raad gegeven: "probeer je hier maar niets bij voor te stellen, leer gewoon de definitie."

Dan even naar vectorruimten en hun elementen: de vectoren. Het begrip "vector" is in deze context veel algemener (en inderdaad abstracter) dan de vector uit de fysica, zoals voor een kracht. Vectorruimten kan je in alle dimensies hebben, dus ook de vectoren bestaan niet alleen in 2D of 3D, maar ook in 1D, 27D, zelfs oneindigdimensionaal... Heb je misschien een specifieke vraag met betrekking tot vectoren of hun betekenis?

Scofield

Nee niet echt een vraag. Eerder een beetje kunnen voorspellen wat mij te wachten staat. Ik stel de vraag omdat in mijn cursus een verschrikkelijk algemene definitie staat van een vector (er worden geen concrete verzamelingen van wanneer men van vectorruimten spreekt). Het klint misschien raar,maar ik heb vectorruimten enkel gekend ahv de naam: "een ruimte van vectoren". Ah ik moest net aan iets denken: een directe som??? Ik kan het wel oplossen maar wat is het precies?

TD

Een vectorruimte lijkt misschien abstract gedefinieerd, maar zo moeilijk is het eigenlijk niet. We vertrekken van twee verzamelingen: een verzameling V (de elementen hiervan noemen we "vectoren") en een verzameling K (de elementen hiervan noemen we "scalairen"). De verzameling K heet een veld (Nederland: "lichaam"), waarover de vectorruimte gedefinieerd is.

We definiëren twee bewerkingen op de verzameling V: een som (som van elementen uit V geeft weer een element uit V) en een (scalaire) vermenigvuldiging (het product van een scalair uit K met een vector uit V, geeft weer een vector uit V). We spreken van een vectorruimte als deze verzameling V, met de bewerkingen die ik net noemde, aan een aantal eigenschappen voldoet.

Deze eigenschappen heb je zeker al ooit gezien: het gaat om associativiteit, het bestaan van een neutraal en een tegengesteld element en commutativiteit (allemaal binnen V). Daarnaast moeten ook enkele gemengde eigenschappen tussen V en K gelden, zoals gemengde associativiteit, distributiviteit en het bestaan van een neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging.

Kan je dit alvast volgen? Laat het even bezinken en neem er eventueel de definitie van je cursus eens bij. Laat maar iets horen, dan kan ik je daarna nog helpen met de directe som (daarvoor moet je weten wat "deelruimten" zijn, dat snap je?).

Scofield

vectorruimten snap ik, deelruimten niet echt helemaal. Er was een zeker verband met een lineaire combinatie. Ik moest een paar oefeningen maken en aantonen dat een zekere verzameling een deelruimte was een andere gegeven vectorruimten, maar (hoe simpel ook), de meest geschikte/gebruikte oplossing kende ik niet. (Het staat trouwens niet zo goed uitgelegd in de cursus)

ps. de titel veranderd?

TD

vectorruimten snap ik, deelruimten niet echt helemaal. Er was een zeker verband met een lineaire combinatie. Ik moest een paar oefeningen maken en aantonen dat een zekere verzameling een deelruimte was een andere gegeven vectorruimten, maar (hoe simpel ook), de meest geschikte/gebruikte oplossing kende ik niet. (Het staat trouwens niet zo goed uitgelegd in de cursus)

Een deelverzameling W van een vectorruimte V is een deelruimte als W niet leeg is en als elke lineaire combinatie van elementen uit W, zelf ook in W zit.

ps. de titel veranderd?

Ja, dit dekt de lading beter dan "algebra"

Scofield

Ok en de directe som?

Klintersaas

Hier al eens gekeken?

TD

Ok en de directe som?

Bekijk een deelruimte A (met een willekeurig element a) en een deelruimte B (met een willekeurig element b). We definiëren eerst de gewone som tussen A en B. De verzameling V = A+B is de som van deze deelruimten als elke v te schrijven is als a+b. Volg je dit nog?

We spreken van een directe som van de deelruimten A en B als elke v uit V nog steeds kan geschreven worden als a+b, maar op een unieke manier. Dit is voldaan als er eveneens geldt dat enkel de nulvector in de doorsnede van A en B zit.

Scofield

Ok ik denk dat ik het snap, maar waarom moet die nulvector in de doorsnede zitten. Je kan zonder die nulvector aantonen dat ze eigenlijk niets gemeenschppelijk hebben?

TD

Ze hebben wel iets gemeenschappelijk, namelijk precies de nulvector. Dat is dan nodig want:

- meer dan de nulvector mag er niet in de doorsnede zitten, want dan zou de ontbinding niet uniek zijn,

- de nulvector moet erin zitten, want elke deelruimte bevat de nulvector (hun doorsnede dus ook...).

Scofield

TD schreef:Ze hebben wel iets gemeenschappelijk, namelijk precies de nulvector. Dat is dan nodig want:

- meer dan de nulvector mag er niet in de doorsnede zitten, want dan zou de ontbinding niet uniek zijn,

- de nulvector moet erin zitten, want elke deelruimte bevat de nulvector (hun doorsnede dus ook...).

Dat anders die ontbinding niet uniek zou zijn wist ik wel, ik wist wel niet dat elke deelruimte een nulvector bezat. Kan je toevallig een concreet vb. geven van zo'n directe som waarbij de ontbinding in elementen van de deelruimten uniek is?

TD

Bij een directe som is de ontbinding altijd uniek.

Voorbeeld: neem de vectorruimte

² en bekijk de deelruimten a(1,0) en b(0,1), met a en b scalairen.

Inderdaad, want elk element (x,y) uit

² is te schrijven als een lineaire combinatie van (1,0) en (0,1).

Scofield

Is dat ook niet een beetje de definitie van een basis?

TD

Het heeft hier zeker wat mee te maken, maar let toch op dat je geen concepten mengt. Een basis van een ruimte V is een stel lineair onafhankelijke vectoren dat de ruimte opspant. Hier ging het over een ruimte die geschreven kon worden als directe som van twee deelruimten.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Abstracte definities en voorstellingswijzen

Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen

Re: Abstracte definities en voorstellingswijzen