Springen naar inhoud

Het commutatief lichaam K


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 17:04

Ik vraag me het volgende af.

K stelt meestal de verzameling R(van de reŽle getallen voor) of C(van de complexe getallen) voor.

1) Kn noemt men de ruimte der n-tallen
2) KX noemt men de ruimte van functies X->K

Bij de eerste snap ik wat er bedoel. Bv. K2 is waarschijnlijk een koppel getallen, K3 van 3 getallen enz..

De tweede snap ik niet. Je start van een functie en deze wordt dan afgebeeld op K.....

Kan iemand een voorbeeld laten zien ter verduidelijking?

Nog een vraag hieromtrent:

De verzameling Knx1 is de verzameling van de matrices van n rijen en 1 kolom. Dit is toch een afbeelding van nx1->K. Moet je dan niet om het simpel te zeggen "van de nx1 matrices beginnen en in K eindigen"?

Veranderd door Scofield, 20 februari 2008 - 17:09


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 17:16

Neem K = X = :D, dan heb je functies van :D naar :D, die ken je toch? Bijvoorbeeld:

LaTeX

Ander voorbeeld, neem nog steeds K = :( maar X = :D≤; een functie kan dan zijn:

LaTeX

Wat je met dat laatste precies bedoelt, is me niet helemaal duidelijk...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 17:32

Het voelt toch intuÔtief niet goed bij mij, gaan van R2 naar R. Ik ben de omgekeerde richting gewend...

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 17:39

In de analyse heb je toch zeker functies van meerdere veranderlijken bestudeerd? Het lijkt me vreemd dat je deze richting niet zou gezien hebben, maar omgekeerd wel... Bekijk het even rustig, moeilijk is het niet: met twee variabelen (x en y) laat je een functiewaarde z = f(x,y) overeenkomen. Als het niet duidelijk is, vraag je maar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 17:42

Wat ik met dat laatste bedoelde was het volgende: Je hebt een verz Knx1. Deze verz. is blijkbaar de verzameling van alle nx1 matrices, maar ik snap niet goed waarom? Ik bedoel je vertrekt toch van de nx1 matrices en je eindigt in K of maw (nx1 matrices -> K, om het een beetje simpel voor te stellen).

#6

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:02

Ik herinner me nog dat een functie van 2 veranderlijken een oppervlak gaf. Een oppervlak is ruimtelijk dus R3. Waar maak ik eventueel een fout?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:04

Wat ik met dat laatste bedoelde was het volgende: Je hebt een verz Knx1. Deze verz. is blijkbaar de verzameling van alle nx1 matrices, maar ik snap niet goed waarom? Ik bedoel je vertrekt toch van de nx1 matrices en je eindigt in K of maw (nx1 matrices -> K, om het een beetje simpel voor te stellen).

Denk misschien niet aan K^X met functies van X naar K, maar bekijk het als een uitbreiding van K^n (de n-tallen). In plaats van een vector (1D, n elementen) kan je ook een matrix hebben (2D, m*n elementen). De ruimte van de mxn-matrices met elementen uit het veld K, noteren we:

LaTeX

De gevallen van rij- of kolomvectoren zijn hier speciale gevallen van (met m of n gelijk aan 1).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:12

Ik herinner me nog dat een functie van 2 veranderlijken een oppervlak gaf. Een oppervlak is ruimtelijk dus R3. Waar maak ik eventueel een fout?

De grafische voorstelling van een (scalaire) functie van twee reŽle veranderlijken, is inderdaad een oppervlak in de ruimte. Met twee coŲrdinaten x en y (bijvoorbeeld in het vlak), laat je een derde coŲrdinaat z = f(x,y) (dit kan je zien als de "hoogte") overeenkomen. Bijvoorbeeld: z = f(x,y) met f(x,y) = x≤+y≤, dit is een paraboloÔde. Dit is dus een voorbeeld van een functie f : :D≤ naar :D, snap je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:16

Waarom kan je het niet bekijken ahv K of mag je de nx1 matrices niet beschouwen als een functie?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:20

Waarom kan je het niet bekijken ahv K of mag je de nx1 matrices niet beschouwen als een functie?

Je hebt hier gewoon te maken met notaties voor (vector)ruimten, meer moet je er niet achter zoeken.

De notatie K^n betekent de ruimte van alle n-tallen (vectoren met n componenten, de elementen zitten in K).
De notatie K^X met X een verzameling, staat voor de ruimte van alles functies van X naar het veld K.

Een andere notatie, volgens mij beter te vergelijken met die van K^n, stelt de ruimte van alle matrices voor:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:29

De grafische voorstelling van een (scalaire) functie van twee reŽle veranderlijken, is inderdaad een oppervlak in de ruimte. Met twee coŲrdinaten x en y (bijvoorbeeld in het vlak), laat je een derde coŲrdinaat z = f(x,y) (dit kan je zien als de "hoogte") overeenkomen. Bijvoorbeeld: z = f(x,y) met f(x,y) = x≤+y≤, dit is een paraboloÔde. Dit is dus een voorbeeld van een functie f : :D≤ naar :D, snap je?


Nee, niet echt. Dit is (besef ik nu) een gat in mijn kennis hierover. Ik heb de functies met 2 veranderlijken nog niet gezien, dus ik kan hier niet echt over meespreken... :D Kan ik de stof ergens vinden?(misschien buiten wikipedia)

#12

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:37

Zou je kunnen uitleggen wat er bedoeld wordt met "de optelling en de scalaire vermenigvuldiging zijn puntsgewijs gedefinieerd" bij de ruimte KX van functies X->K

Veranderd door Scofield, 20 februari 2008 - 18:38


#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:45

Als ik met google zoek op "puntsgewijs gedefinieerd", krijg ik amper resultaten. Misschien kan je even vertellen hoe optelling en vermenigvuldiging precies gedefinieerd zijn in je cursus? Die term wordt hier waarschijnlijk niet door iedereen voor gebruikt...

In elk geval, voor K^X met de functies van X naar K, kan je optelling en vermenigvuldiging als volgt definiŽren:

LaTeX

LaTeX

Hierin zijn f en g twee functies en is k een scalair (element van K).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:51

ja, zo is dat ook bij mij gedefinieerd. Blijkbaar is dat het en niet meer?

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 18:58

Meer is er inderdaad niet aan: met die optelling en vermenigvuldiging vormt K^X een vectorruimte.

Zoals je hier kan zien moet je die elementen van een vectorruimte niet te eng opvatten: het kunnen ook functies zijn!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures