Springen naar inhoud

vectorruimte van functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 21:16

Ik zal even mijn cursus quoten:

Zij Ω een open verzameling van Rn. De ruimten C0,Ck,C :D Ω van reŽle functies op Ω
die respectievelijk continu zijn, k keer continu differentieerbaar of onbeperkt continu differentieerbaar, zijn deelvectorruimten van R Ω


Wil dit dan zeggen dat bv. functies die continu zijn, k keer continu differentieerbaar zijn of onbeperkt copntinu differentieerbaar deelvectorruimten zijn?

Ik heb ook een vraag over het begrip open verzameling, ik heb het opgezocht en ik bekwam volgende uitleg: rond elk punt x in een open verzameling O is een gebiedje te vinden dat helemaal om x heen ligt, maar toch helemaal in O ligt.
Hoe is dit mogelijk en wat is de verklaring hiervoor?

Veranderd door Scofield, 20 februari 2008 - 21:27


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 21:51

Zij Ω een open verzameling van Rn. De ruimten C0,Ck,C :D Ω van reŽle functies op Ω
die respectievelijk continu zijn, k keer continu differentieerbaar of onbeperkt continu differentieerbaar, zijn deelvectorruimten van R Ω


Wil dit dan zeggen dat bv. functies die continu zijn, k keer continu differentieerbaar zijn of onbeperkt copntinu differentieerbaar deelvectorruimten zijn?

De vectorruimte R^Ω bestaat uit functies van Ω naar R, zoals we eerder al gezien hadden (K^X met K = R en X = Ω). Die omega is een open verzameling (zie uitleg bij je volgende vraag).
Deze ruimte omvat dus alle functies van Ω naar R. We kunnen nu naar bijzondere delen kijken, bijvoorbeeld alle continue functies. Dit is een deelruimte (want: de nulfunctie is continu en een lineaire combinatie van continue functies is weer continu) van R^Ω en noteren we als C. Op dezelfde manier kan je andere deelruimtes bekijken, namelijk C^k en C^:D.

Ik heb ook een vraag over het begrip open verzameling, ik heb het opgezocht en ik bekwam volgende uitleg: rond elk punt x in een open verzameling O is een gebiedje te vinden dat helemaal om x heen ligt, maar toch helemaal in O ligt.
Hoe is dit mogelijk en wat is de verklaring hiervoor?

Je kan dit waarschijnlijk beter begrijpen door even naar een eenvoudig voorbeeld te kijken. Neem R (dus n = 1 in R^n): dan gaat het om een open interval; in tegenstelling tot een gesloten interval. Je bekijkt dus functies van (a,b) naar R (ook wel ]a,b[ genoteerd, maar dus niet het gesloten interval [a,b]).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 22:20

R = ]a,b[. Is dit ook per conventie?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 22:30

Wat bedoel je nu...? De verzameling R bevat alle reŽle getallen, het open interval (a,b) of ]a,b[ enkel de reŽle getallen x waarvoor a<x<b.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 22:41

Nee, foutje. Ik heb verkeerd gelezen :D . Nog een klein vraagje: Wat houdt de span van een verzameling in?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 22:44

De "span" van een stel vectoren S is de ruimte die opgespannen wordt door deze vectoren, dat wil zeggen: de ruimte van alle vectoren die geschreven kunnen worden als lineaire combinatie van de vectoren uit S.

Voorbeeld: neem S = {(1,0),(0,1)}. S bestaat dus uit de twee vectoren (1,0) en (0,1). Een lineaire combinatie hiervan is van de vorm a.(1,0)+b.(0,1) = (a,0)+(0,b) = (a,b). Die a en b zijn vrij te kiezen scalairen, we zien dus dat we elk koppel (a,b) kunnen vormen. Alle koppels, dit zijn de elementen van :D≤, kunnen dus gevormd worden: span(S) = :D≤.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 22:48

en waarom is dit de kleinste deelvectorruimte die S omvat?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2008 - 22:50

en waarom is dit de kleinste deelvectorruimte die S omvat?

Over wat heb je het nu? Welke deelvectorruimte bedoel je met "dit"?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2008 - 23:53

waarom is de span van S de kleinste vectorruimte van S?:

om een vectorruimte te hebben moeten alle lineaire combinaties van vectoren uit de vectorruimte weer in de vectorruimte liggen.
als je een verzameling van vectoren zou hebben die kleiner is dan de span van S, zou je dus een LC van vectoren uit S kunnen maken die niet meer tot die verzameling zou behoren.

#10

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2008 - 00:04

Met 'dit' bedoel ik de span van S. Ik vraag waarom dat dit de kleinste deelvectorruimte is die S omvat. Dit is blijkbaar een eigenschap, maar ik geraak niet aan uit...

Veranderd door Scofield, 21 februari 2008 - 00:08


#11

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2008 - 00:11

raak je er met mijn antwoord niet aan uit?

#12

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2008 - 00:24

Een beetje.

Als de span van S kleiner zou zijn als S zelf, zou het dus mogelijk zijn om een LC van vectoren in S te vinden die niet in de span van S liggen en dit kan niet aangezien de span van S de verzameling is van LC's van de elementen van S.

Is dat een beetje een juiste redenering?

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2008 - 00:32

Niet noodzakelijk kleiner dan "S" zelf, je hebt het toch nog niet helemaal door. S is een verzameling van een aantal vectoren, dat is niet noodzakelijk een vectorruimte! Bekijk bijvoorbeeld de verzameling S die ik eerder gaf, namelijk S = {(1,0),(0,1)}. Dit is geen vectorruimte, want de lineaire combinatie 2.(1,0)-1.(0,1) = (2,-1) zit niet in S.

Nu bekijken we de verzameling van alle vectoren die "door S worden voortgebracht", dat wil zeggen: alle vectoren die te schrijven zijn als een lineaire combinatie van de vectoren uit S. De verzameling van al deze vectoren vormen span(S). Zoals ik je eerder had uitgelegd, is dat in dit voorbeeld :D≤, alle koppels (a,b) dus.

Wat we nu als stelling hebben is het volgende (toegepast op dit voorbeeld): :D≤ is de kleinste deelruimte die S bevat, dat wil zeggen: de kleinste vectorruimte die de vectoren van S, dat waren (1,0) en (0,1), bevat. Waarom is dit de kleinste? Wel: stel we laten een vector uit :D≤ weg, bijvoorbeeld (3,2). Deze verzameling noem ik W, dus W = :(≤\{(3,2)} (lees: ;)≤ zonder de vector (3,2)).
Als :P≤ de kleinste ruimte was die S bevatte, dan is volgens de stelling W geen deelruimte meer. Inderdaad: want om een deelruimte (dat is ook een vectorruimte) te zijn, moet elke lineaire combinatie van vectoren uit W, weer in W zitten. Dat is nu niet het geval, want ik kan met (1,0) en (0,1) - die in W zitten - een lineaire combinatie vormen en (3,2) maken; maar (3,2) zit niet niet W...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2008 - 00:40

Ik ga er een nachtje over slapen....

#15

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2008 - 20:29

Ik denk dat ik het door heb, maar ik heb toch nog een vraag over die vectorruimten.

Waarom is de span van S een vectorruimte. Die bestaat toch uit een lineaire combinatie van vectoren uit S. Moeten die vectoren (om een vectorruimte te vormen) niet afkomstig zijn van de span van S zelf om een vectorruimte te zijn?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures