vectorruimte van functies

Scofield

Ik zal even mijn cursus quoten:

Zij Ω een open verzameling van Rⁿ. De ruimten C⁰,C^k,C Ω van reële functies op Ω

die respectievelijk continu zijn, k keer continu differentieerbaar of onbeperkt continu differentieerbaar, zijn deelvectorruimten van R^Ω

Wil dit dan zeggen dat bv. functies die continu zijn, k keer continu differentieerbaar zijn of onbeperkt copntinu differentieerbaar deelvectorruimten zijn?

Ik heb ook een vraag over het begrip open verzameling, ik heb het opgezocht en ik bekwam volgende uitleg: rond elk punt x in een open verzameling O is een gebiedje te vinden dat helemaal om x heen ligt, maar toch helemaal in O ligt.

Hoe is dit mogelijk en wat is de verklaring hiervoor?

TD

Scofield schreef:Zij Ω een open verzameling van Rⁿ. De ruimten C⁰,C^k,C Ω van reële functies op Ω

die respectievelijk continu zijn, k keer continu differentieerbaar of onbeperkt continu differentieerbaar, zijn deelvectorruimten van R^Ω

Wil dit dan zeggen dat bv. functies die continu zijn, k keer continu differentieerbaar zijn of onbeperkt copntinu differentieerbaar deelvectorruimten zijn?

De vectorruimte R^Ω bestaat uit functies van Ω naar R, zoals we eerder al gezien hadden (K^X met K = R en X = Ω). Die omega is een open verzameling (zie uitleg bij je volgende vraag).

Deze ruimte omvat dus alle functies van Ω naar R. We kunnen nu naar bijzondere delen kijken, bijvoorbeeld alle continue functies. Dit is een deelruimte (want: de nulfunctie is continu en een lineaire combinatie van continue functies is weer continu) van R^Ω en noteren we als C. Op dezelfde manier kan je andere deelruimtes bekijken, namelijk C^k en C^

.

Scofield schreef:Ik heb ook een vraag over het begrip open verzameling, ik heb het opgezocht en ik bekwam volgende uitleg: rond elk punt x in een open verzameling O is een gebiedje te vinden dat helemaal om x heen ligt, maar toch helemaal in O ligt.

Hoe is dit mogelijk en wat is de verklaring hiervoor?

Je kan dit waarschijnlijk beter begrijpen door even naar een eenvoudig voorbeeld te kijken. Neem R (dus n = 1 in R^n): dan gaat het om een open interval; in tegenstelling tot een gesloten interval. Je bekijkt dus functies van (a,b) naar R (ook wel ]a,b[ genoteerd, maar dus niet het gesloten interval [a,b]).

Scofield

R = ]a,b[. Is dit ook per conventie?

TD

Wat bedoel je nu...? De verzameling R bevat alle reële getallen, het open interval (a,b) of ]a,b[ enkel de reële getallen x waarvoor a<x<b.

Scofield

Nee, foutje. Ik heb verkeerd gelezen

. Nog een klein vraagje: Wat houdt de span van een verzameling in?

TD

De "span" van een stel vectoren S is de ruimte die opgespannen wordt door deze vectoren, dat wil zeggen: de ruimte van alle vectoren die geschreven kunnen worden als lineaire combinatie van de vectoren uit S.

Voorbeeld: neem S = {(1,0),(0,1)}. S bestaat dus uit de twee vectoren (1,0) en (0,1). Een lineaire combinatie hiervan is van de vorm a.(1,0)+b.(0,1) = (a,0)+(0,b) = (a,b). Die a en b zijn vrij te kiezen scalairen, we zien dus dat we elk koppel (a,b) kunnen vormen. Alle koppels, dit zijn de elementen van

², kunnen dus gevormd worden: span(S) =

².

Scofield

en waarom is dit de kleinste deelvectorruimte die S omvat?

TD

en waarom is dit de kleinste deelvectorruimte die S omvat?

Over wat heb je het nu? Welke deelvectorruimte bedoel je met "dit"?

stoker

waarom is de span van S de kleinste vectorruimte van S?:

om een vectorruimte te hebben moeten alle lineaire combinaties van vectoren uit de vectorruimte weer in de vectorruimte liggen.

als je een verzameling van vectoren zou hebben die kleiner is dan de span van S, zou je dus een LC van vectoren uit S kunnen maken die niet meer tot die verzameling zou behoren.

Scofield

Met 'dit' bedoel ik de span van S. Ik vraag waarom dat dit de kleinste deelvectorruimte is die S omvat. Dit is blijkbaar een eigenschap, maar ik geraak niet aan uit...

stoker

raak je er met mijn antwoord niet aan uit?

Scofield

Een beetje.

Als de span van S kleiner zou zijn als S zelf, zou het dus mogelijk zijn om een LC van vectoren in S te vinden die niet in de span van S liggen en dit kan niet aangezien de span van S de verzameling is van LC's van de elementen van S.

Is dat een beetje een juiste redenering?

TD

Niet noodzakelijk kleiner dan "S" zelf, je hebt het toch nog niet helemaal door. S is een verzameling van een aantal vectoren, dat is niet noodzakelijk een vectorruimte! Bekijk bijvoorbeeld de verzameling S die ik eerder gaf, namelijk S = {(1,0),(0,1)}. Dit is geen vectorruimte, want de lineaire combinatie 2.(1,0)-1.(0,1) = (2,-1) zit niet in S.

Nu bekijken we de verzameling van alle vectoren die "door S worden voortgebracht", dat wil zeggen: alle vectoren die te schrijven zijn als een lineaire combinatie van de vectoren uit S. De verzameling van al deze vectoren vormen span(S). Zoals ik je eerder had uitgelegd, is dat in dit voorbeeld

², alle koppels (a,b) dus.

Wat we nu als stelling hebben is het volgende (toegepast op dit voorbeeld):

² is de kleinste deelruimte die S bevat, dat wil zeggen: de kleinste vectorruimte die de vectoren van S, dat waren (1,0) en (0,1), bevat. Waarom is dit de kleinste? Wel: stel we laten een vector uit

² weg, bijvoorbeeld (3,2). Deze verzameling noem ik W, dus W =

²\{(3,2)} (lees:

² zonder de vector (3,2)).

Als

² de kleinste ruimte was die S bevatte, dan is volgens de stelling W geen deelruimte meer. Inderdaad: want om een deelruimte (dat is ook een vectorruimte) te zijn, moet elke lineaire combinatie van vectoren uit W, weer in W zitten. Dat is nu niet het geval, want ik kan met (1,0) en (0,1) - die in W zitten - een lineaire combinatie vormen en (3,2) maken; maar (3,2) zit niet niet W...

Scofield

Ik ga er een nachtje over slapen....

Scofield

Ik denk dat ik het door heb, maar ik heb toch nog een vraag over die vectorruimten.

Waarom is de span van S een vectorruimte. Die bestaat toch uit een lineaire combinatie van vectoren uit S. Moeten die vectoren (om een vectorruimte te vormen) niet afkomstig zijn van de span van S zelf om een vectorruimte te zijn?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

vectorruimte van functies

vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies

Re: vectorruimte van functies