[Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

aadkr

\((x^2-y^2).dx+2xy.dy=0\)

Dit schijnt een homogene D.V. te zijn, maar hoe zie ik of deze D.V. homogeen is??

Klintersaas

TD

Nee, dat is niet wat er hier bedoeld wordt. Het is erg verwarrend, maar "homogeen" wordt in twee betekenissen gebruikt voor differentiaalvergelijkingen. In deze context bedoelt met waarschijnlijk dit. Gebruik de substitutie y = ux.

dirkwb

\( \frac{dy}{dx}= \frac{y^2 -x^2}{2xy}\)

De rechterkant is toch geen functie van y/x ?

TD

Met u = y/x, herschrijf ik:

\(\frac{{y^2 - x^2 }}{{2xy}} = \frac{y}{{2x}} - \frac{x}{{2y}} = \frac{u}{2} - \frac{1}{{2u}}\)

dirkwb

Ja, die substitutie snap ik, het probleem is dat dit toch alleen werkt als de RHS een functie is van y/x en dat is toch hier niet het geval?

Edit: ik keek niet goed naar je uitwerking; je hebt het kwadraat gesplitst, ik snap het al.

TD

Inderdaad, gewoon de breuk in twee gesplitst. Zoals je ziet, wel degelijk een functie van u, dus van y/x.

aadkr

T.D heeft gelijk .

Ik moet hier inderdaad de substitutie y=u.x gebruiken, en dy=u.dx+x.du.

Blijft nog steeds de vraag: hoe weet ik dat deze D.V. homogeen is??

TD

Je kan zien of het te schrijven is als y' = F(y/x), door eventueel wat te herschrijven zoals ik deed.

Als de differentiaalvergelijking gegeven is in de vorm p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0, zoals hier, dan kan het ook anders. Herinner je dat een veelterm homogeen van graad n genoemd wordt, als de som van de exponenten van x en y voor elke term gelijk is aan n. Verduidelijkend voorbeeld:

\(3x^3-2xy^2+5x^2y\)

Deze veelterm is homogeen van graad 3, de som van de exponenten van x en y in elke term is immers 3.

Terugkerend naar de differentiaalvergelijking in de vorm zoals ik ze net gaf: we noemen die differentiaalvergelijking homogeen van graad n indien p(x,y) en q(x,y) homogene veeltermen van graad n zijn. Zie je zelf dat de graad in jouw geval 2 is?

aadkr

Ze stellen in een wiskundeboek :

Een funktie F(x,y) heet homogeen in x en y ,indien:

\(F(tx,ty)=t^n.F(x,y)\)

In het bijzonder is een veelterm homogeen ,indien alle termen van dezelfde graad zijn. Zo is de veelterm:

\(x^2-x.y+2.y^2\)

homogeen, want:

\(F(tx,ty)=t^2.x^2-txty+2t^2.y^2=t^2.(x^2-xy+2y^2)=t^2,F(x,y)\)

De veelterm is homogeen van de tweede graad. Evenzo blijkt dat de funktie:

\((x^2+y^2).\sin \frac{y}{x}\)

homogeen isvan de tweede graad.

\((t^2.x^2+t^2.y^2).\sin \frac{t.y}{t.x}=t^2.(x^2+y^2). \sin \frac{y}{x}\)

TD

Dat is precies hetzelfde, maar anders gezegd.

De graad van t die je eruit kan halen, komt ook exact overeen met de graad die ik vermeldde.

aadkr

Bedankt voor je hulp ,T.D.

\((x^2-y^2).dx+2.x.y.dy=0\)

Stel: y=u.x dy=u.dx+x.du

\((x^2-u^2.x^2).dx+2x^2.u.(u.dx+x.du)=0\)

\((1-u^2).dx+2u^2.dx+2xudu=0\)

\((1+u^2).dx+2xu.du=0\)

\(\int \frac{dx}{x}+ \int \frac{2u.du}{1+u^2} =0\)

\(x.(1+u^2)=C\)

\(x.(1+\frac{y^2}{x^2} )=C\)

\(x.C=x^2.y^2\)

TD

De uitwerking ziet er goed uit. Alleen in de laatste stap moet het rechterlid x²+y² zijn, denk ik.

aadkr

Je hebt gelijk.

\(x.C=x^2+y^2\)

TD

Die oplossing lijkt me juist

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

[Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking

Re: [Wiskunde] Homogene differentiaalvergelijking