[Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 355
[Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Hallo,
Ik heb een vraagje over volgende lineaire differentiaalvergelijking:
y''+y=h(x)
y(0)=0
y'(0)=1
waarbij
h(x)= x als x<Pi en Pi*exp(Pi-x) als Pi< x
Dit is de eerste keer dat ik een lineaire differentiaalvgl met een functie (h(x)) die stuksgewijs is gedefiniëerd. Hoe moet ik dit aanpakken? De algemene oplosing heb ik al, maar hoe bereken je de particuliere oplossing?
Ik heb een vraagje over volgende lineaire differentiaalvergelijking:
y''+y=h(x)
y(0)=0
y'(0)=1
waarbij
h(x)= x als x<Pi en Pi*exp(Pi-x) als Pi< x
Dit is de eerste keer dat ik een lineaire differentiaalvgl met een functie (h(x)) die stuksgewijs is gedefiniëerd. Hoe moet ik dit aanpakken? De algemene oplosing heb ik al, maar hoe bereken je de particuliere oplossing?
-
- Berichten: 4.246
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Simpelweg de oplossing voor de twee h's berekenen en erbij zetten voor welke x de oplossing geldig is.
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 355
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Ja, sorry. Ik volg niet echt de redenering..
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Dit soort vraagstukjes passen ook beter in het huiswerkforum - verplaatst.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Los de differentiaalvergelijking eerst op voor x<pi, vervang h(x) gewoon door x.Ja, sorry. Ik volg niet echt de redenering..
Los de differentiaalvergelijking daarna op voor x>pi, nu met h(x) = pi*exp(pi-x).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Ik kom en gigantische oplossing uit.
Dit is mijn werkwijze:
Algemene oplossing: y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)
Particuliere oplossing (met Lagrange-mathode): zal van de vorm u1(x)cos(x)+u2sin(x) zijn
u1' = sin(x)h(x)
u2' = cos(x)h(x)
u1 = sin(x) - cos(x)*x, u2 = cos(x)*x+sin(x)*x voor x<=Pi
u1 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x
u2 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x
Dus dan zou de oplossing zijn:
(sin(x) - cos(x)*x)*cos(x) + (cos(x)*x+sin(x)*x)*sin(x) voor x<=Pi
(Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x))) *cos(x) + (Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)))*sin(x)
Dit is hetgeen ik nu al heb. Ik ben een beetje aan het knoeien, dus alle hulp is welkom.
Dit is mijn werkwijze:
Algemene oplossing: y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)
Particuliere oplossing (met Lagrange-mathode): zal van de vorm u1(x)cos(x)+u2sin(x) zijn
u1' = sin(x)h(x)
u2' = cos(x)h(x)
u1 = sin(x) - cos(x)*x, u2 = cos(x)*x+sin(x)*x voor x<=Pi
u1 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x
u2 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x
Dus dan zou de oplossing zijn:
(sin(x) - cos(x)*x)*cos(x) + (cos(x)*x+sin(x)*x)*sin(x) voor x<=Pi
(Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x))) *cos(x) + (Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)))*sin(x)
Dit is hetgeen ik nu al heb. Ik ben een beetje aan het knoeien, dus alle hulp is welkom.
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Ik volg niet helemaal wat je doet... Laten we eerst naar x<pi kijken, de dv is dan:
y'' + y = x met als homogene dv: y'' + y = 0.
Deze homogene heeft inderdaad als algemene oplossing: y_h = c.sin(x)+d.cos(x).
Het rechterlid (inhomogeen deel) is x, dus stel als particuliere oplossing voor: y_p = ax+b.
Dan is y_p' = a en y_p'' = 0, invullen: 0+ax+b = x, dus a = 1 en b = 0, dus y_p = x.
Totale oplossing voor x<pi: y(x) = c.sin(x) + d.cos(x) + x. Nu de voorwaarden nog.
Uit y(0) = 0 volgt dat d = 0 en uit y'(0) = 1 volgt dat c = 0, dus: y(x) = x.
y'' + y = x met als homogene dv: y'' + y = 0.
Deze homogene heeft inderdaad als algemene oplossing: y_h = c.sin(x)+d.cos(x).
Het rechterlid (inhomogeen deel) is x, dus stel als particuliere oplossing voor: y_p = ax+b.
Dan is y_p' = a en y_p'' = 0, invullen: 0+ax+b = x, dus a = 1 en b = 0, dus y_p = x.
Totale oplossing voor x<pi: y(x) = c.sin(x) + d.cos(x) + x. Nu de voorwaarden nog.
Uit y(0) = 0 volgt dat d = 0 en uit y'(0) = 1 volgt dat c = 0, dus: y(x) = x.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Voor wat staan die y_p'' en y_p'?
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Je weet (waarschijnlijk?) dat de volledige oplossing gegeven wordt door de som van de homogene oplossing (die noteerde ik y_h) en een particuliere oplossing (die noteerde ik y_p). Omdat je rechterlid van de eerste graad is, stel je (zo algemeen mogelijk) een eerstegraadsveelterm voor als particuliere oplossing: y_p = ax+b.
Om a en b te bepalen ga je dit in de differentiaalvergelijking invullen, maar daarvoor heb je y'' nodig, in dit geval y_p'': de tweede afgeleide. Voor ax+b is die 0, dus ingevuld levert dat:
Om a en b te bepalen ga je dit in de differentiaalvergelijking invullen, maar daarvoor heb je y'' nodig, in dit geval y_p'': de tweede afgeleide. Voor ax+b is die 0, dus ingevuld levert dat:
\(y_p ^\prime ^\prime + y_p = x \Leftrightarrow 0 + ax + b = x\)
Hieruit haal je dat a = 1 en b = 0, omdat dit moet gelden voor alle x."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Ah zo ik snap het. Bedankt!
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Mooi. Voor het andere deel (x>pi) is het ook vrij eenvoudig, denk ik. Je homogeen deel is nog steeds hetzelfde, alleen het rechterlid is anders. Om een particuliere oplossing te vinden, stel je opnieuw (zo algemeen mogelijk) iets van hetzelfde type voor; in dit geval: een expontiële functie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)