Springen naar inhoud

[Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2008 - 21:53

Hallo,

Ik heb een vraagje over volgende lineaire differentiaalvergelijking:

y''+y=h(x)
y(0)=0
y'(0)=1

waarbij

h(x)= x als x<Pi en Pi*exp(Pi-x) als Pi< x

Dit is de eerste keer dat ik een lineaire differentiaalvgl met een functie (h(x)) die stuksgewijs is gedefiniŽerd. Hoe moet ik dit aanpakken? De algemene oplosing heb ik al, maar hoe bereken je de particuliere oplossing?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 februari 2008 - 22:04

Simpelweg de oplossing voor de twee h's berekenen en erbij zetten voor welke x de oplossing geldig is.
Quitters never win and winners never quit.

#3

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2008 - 22:28

Ja, sorry. Ik volg niet echt de redenering..

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2008 - 22:28

Dit soort vraagstukjes passen ook beter in het huiswerkforum - verplaatst.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2008 - 22:39

Ja, sorry. Ik volg niet echt de redenering..

Los de differentiaalvergelijking eerst op voor x<pi, vervang h(x) gewoon door x.
Los de differentiaalvergelijking daarna op voor x>pi, nu met h(x) = pi*exp(pi-x).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2008 - 23:16

Ik kom en gigantische oplossing uit.

Dit is mijn werkwijze:

Algemene oplossing: y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)

Particuliere oplossing (met Lagrange-mathode): zal van de vorm u1(x)cos(x)+u2sin(x) zijn

u1' = sin(x)h(x)
u2' = cos(x)h(x)

u1 = sin(x) - cos(x)*x, u2 = cos(x)*x+sin(x)*x voor x<=Pi

u1 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x
u2 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x

Dus dan zou de oplossing zijn:

(sin(x) - cos(x)*x)*cos(x) + (cos(x)*x+sin(x)*x)*sin(x) voor x<=Pi

(Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x))) *cos(x) + (Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)))*sin(x)

Dit is hetgeen ik nu al heb. Ik ben een beetje aan het knoeien, dus alle hulp is welkom.

Veranderd door Scofield, 21 februari 2008 - 23:21


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2008 - 23:28

Ik volg niet helemaal wat je doet... Laten we eerst naar x<pi kijken, de dv is dan:

y'' + y = x met als homogene dv: y'' + y = 0.

Deze homogene heeft inderdaad als algemene oplossing: y_h = c.sin(x)+d.cos(x).

Het rechterlid (inhomogeen deel) is x, dus stel als particuliere oplossing voor: y_p = ax+b.
Dan is y_p' = a en y_p'' = 0, invullen: 0+ax+b = x, dus a = 1 en b = 0, dus y_p = x.

Totale oplossing voor x<pi: y(x) = c.sin(x) + d.cos(x) + x. Nu de voorwaarden nog.
Uit y(0) = 0 volgt dat d = 0 en uit y'(0) = 1 volgt dat c = 0, dus: y(x) = x.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2008 - 23:56

Voor wat staan die y_p'' en y_p'?

Veranderd door Scofield, 21 februari 2008 - 23:56


#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2008 - 23:58

Je weet (waarschijnlijk?) dat de volledige oplossing gegeven wordt door de som van de homogene oplossing (die noteerde ik y_h) en een particuliere oplossing (die noteerde ik y_p). Omdat je rechterlid van de eerste graad is, stel je (zo algemeen mogelijk) een eerstegraadsveelterm voor als particuliere oplossing: y_p = ax+b.
Om a en b te bepalen ga je dit in de differentiaalvergelijking invullen, maar daarvoor heb je y'' nodig, in dit geval y_p'': de tweede afgeleide. Voor ax+b is die 0, dus ingevuld levert dat:

LaTeX

Hieruit haal je dat a = 1 en b = 0, omdat dit moet gelden voor alle x.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2008 - 00:07

Ah zo ik snap het. Bedankt!

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 februari 2008 - 00:12

Mooi. Voor het andere deel (x>pi) is het ook vrij eenvoudig, denk ik. Je homogeen deel is nog steeds hetzelfde, alleen het rechterlid is anders. Om een particuliere oplossing te vinden, stel je opnieuw (zo algemeen mogelijk) iets van hetzelfde type voor; in dit geval: een expontiŽle functie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures