Hallo,
Ik heb een vraagje over volgende lineaire differentiaalvergelijking:
y''+y=h(x)
y(0)=0
y'(0)=1
waarbij
h(x)= x als x<Pi en Pi*exp(Pi-x) als Pi< x
Dit is de eerste keer dat ik een lineaire differentiaalvgl met een functie (h(x)) die stuksgewijs is gedefiniëerd. Hoe moet ik dit aanpakken? De algemene oplosing heb ik al, maar hoe bereken je de particuliere oplossing?
Laatste berichten
-
23:54
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 4
-
21:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 10
-
19:47
vB 9
-
15:02
Interpretatie reactie-energie 2
-
15 apr
Vreemde stank in huis 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Rotatie van het heelal 22
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
-
05 apr
Ongepaste reclame 179
-
04 apr
Gegevens wissen mobiel 6
-
04 apr
Geiger Muller telbuis 2
-
03 apr
Schroefdraad berekening 3
-
03 apr
Relatieve luchtvochtigheid 26
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 4.246
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Simpelweg de oplossing voor de twee h's berekenen en erbij zetten voor welke x de oplossing geldig is.
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 355
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Ja, sorry. Ik volg niet echt de redenering..
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Dit soort vraagstukjes passen ook beter in het huiswerkforum - verplaatst.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Los de differentiaalvergelijking eerst op voor x<pi, vervang h(x) gewoon door x.Ja, sorry. Ik volg niet echt de redenering..
Los de differentiaalvergelijking daarna op voor x>pi, nu met h(x) = pi*exp(pi-x).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Ik kom en gigantische oplossing uit.
Dit is mijn werkwijze:
Algemene oplossing: y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)
Particuliere oplossing (met Lagrange-mathode): zal van de vorm u1(x)cos(x)+u2sin(x) zijn
u1' = sin(x)h(x)
u2' = cos(x)h(x)
u1 = sin(x) - cos(x)*x, u2 = cos(x)*x+sin(x)*x voor x<=Pi
u1 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x
u2 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x
Dus dan zou de oplossing zijn:
(sin(x) - cos(x)*x)*cos(x) + (cos(x)*x+sin(x)*x)*sin(x) voor x<=Pi
(Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x))) *cos(x) + (Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)))*sin(x)
Dit is hetgeen ik nu al heb. Ik ben een beetje aan het knoeien, dus alle hulp is welkom.
Dit is mijn werkwijze:
Algemene oplossing: y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)
Particuliere oplossing (met Lagrange-mathode): zal van de vorm u1(x)cos(x)+u2sin(x) zijn
u1' = sin(x)h(x)
u2' = cos(x)h(x)
u1 = sin(x) - cos(x)*x, u2 = cos(x)*x+sin(x)*x voor x<=Pi
u1 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x
u2 = Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)) voor Pi<x
Dus dan zou de oplossing zijn:
(sin(x) - cos(x)*x)*cos(x) + (cos(x)*x+sin(x)*x)*sin(x) voor x<=Pi
(Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)-1/2 sin(x)exp(Π-x))) *cos(x) + (Π(-1/2 *exp(Π-x)cos(x)+1/2 sin(x)exp(Π-x)))*sin(x)
Dit is hetgeen ik nu al heb. Ik ben een beetje aan het knoeien, dus alle hulp is welkom.
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Ik volg niet helemaal wat je doet... Laten we eerst naar x<pi kijken, de dv is dan:
y'' + y = x met als homogene dv: y'' + y = 0.
Deze homogene heeft inderdaad als algemene oplossing: y_h = c.sin(x)+d.cos(x).
Het rechterlid (inhomogeen deel) is x, dus stel als particuliere oplossing voor: y_p = ax+b.
Dan is y_p' = a en y_p'' = 0, invullen: 0+ax+b = x, dus a = 1 en b = 0, dus y_p = x.
Totale oplossing voor x<pi: y(x) = c.sin(x) + d.cos(x) + x. Nu de voorwaarden nog.
Uit y(0) = 0 volgt dat d = 0 en uit y'(0) = 1 volgt dat c = 0, dus: y(x) = x.
y'' + y = x met als homogene dv: y'' + y = 0.
Deze homogene heeft inderdaad als algemene oplossing: y_h = c.sin(x)+d.cos(x).
Het rechterlid (inhomogeen deel) is x, dus stel als particuliere oplossing voor: y_p = ax+b.
Dan is y_p' = a en y_p'' = 0, invullen: 0+ax+b = x, dus a = 1 en b = 0, dus y_p = x.
Totale oplossing voor x<pi: y(x) = c.sin(x) + d.cos(x) + x. Nu de voorwaarden nog.
Uit y(0) = 0 volgt dat d = 0 en uit y'(0) = 1 volgt dat c = 0, dus: y(x) = x.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Voor wat staan die y_p'' en y_p'?
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Je weet (waarschijnlijk?) dat de volledige oplossing gegeven wordt door de som van de homogene oplossing (die noteerde ik y_h) en een particuliere oplossing (die noteerde ik y_p). Omdat je rechterlid van de eerste graad is, stel je (zo algemeen mogelijk) een eerstegraadsveelterm voor als particuliere oplossing: y_p = ax+b.
Om a en b te bepalen ga je dit in de differentiaalvergelijking invullen, maar daarvoor heb je y'' nodig, in dit geval y_p'': de tweede afgeleide. Voor ax+b is die 0, dus ingevuld levert dat:
Om a en b te bepalen ga je dit in de differentiaalvergelijking invullen, maar daarvoor heb je y'' nodig, in dit geval y_p'': de tweede afgeleide. Voor ax+b is die 0, dus ingevuld levert dat:
\(y_p ^\prime ^\prime + y_p = x \Leftrightarrow 0 + ax + b = x\)
Hieruit haal je dat a = 1 en b = 0, omdat dit moet gelden voor alle x."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Ah zo ik snap het. Bedankt!
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Vraagstuk differentiaalvergelijking
Mooi. Voor het andere deel (x>pi) is het ook vrij eenvoudig, denk ik. Je homogeen deel is nog steeds hetzelfde, alleen het rechterlid is anders. Om een particuliere oplossing te vinden, stel je opnieuw (zo algemeen mogelijk) iets van hetzelfde type voor; in dit geval: een expontiële functie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
