Springen naar inhoud

Limiet van een integraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2008 - 10:56

Bereken volgende opgave. Ik heb reeds wat tips, maar ik zit met enkele prangende vragen hieromtrent.

LaTeX

Er is gezegd van die limiet ineens in te vullen waardoor je voor die integraal als bovengrens oneindig krijgt, wat op zijn beurt dan een delta-functie oplevert. Maar wat gebeurt er dan met die 1/T ? Als je daar oneindig invult krijg je 0...Of zit deze ineens mee in de delta functie?
Andere manier mogen ook.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

da_doc

    da_doc


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2008 - 11:03

Als En=Em, dan is de exp gelijk aan 1, en de uitkomst is dan T/T=1. Als En niet gelijk is aan Em, dan oscilleert de integrand rond nul als functie van T, en blijft dus een eindige waarde houden. Dan geeft de limiet met 1/T ervoor nul.

#3

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2008 - 11:53

De integrand oscilleert (exp it = cost + i*sint ) inderdaad rond nul als functie van de tijd. Echter, als T->oneindig dan wordt het oppervlak onder de curve toch ook oneindig waardoor de limiet oneindig/oneindig wordt wat ongedefinieerd is.
Of integreer je eerst tot T, wat dan inderdaad een eindige waarde oplevert en vul je de limiet pas nadien in?

#4

da_doc

    da_doc


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2008 - 12:36

Tip: integraal is niet hetzelfde als oppervlak.

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 22 februari 2008 - 13:17

Zie de reactie van da_doc.

Een iets andere benadering.
Met LaTeX is vanwege de periodiciteit van LaTeX :
LaTeX
LaTeX
Nu is LaTeX analytisch in 0, dus
LaTeX

#6

da_doc

    da_doc


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2008 - 16:40

Dat klopt niet, PeterPan.

Neem de integraal over een enkele periode van cos t of sin t: geeft nul. Dus als het interval [0,T] de decimaal lengte p.q maal die periode heeft, dan blijft in de integraal alleen 0.q periode over. Die integraal is eindig, dus maal 1/T en in de limiet =0.

Dit volgt ook uit symmetrie: sin(x)=-sin(-x). Voor grote waarden van T bestaat de integrand uit twee bijna even grote (in absolute zin) delen, resp. positief en negatief. Alleen de onbalans blijft over, en die is eindig.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 22 februari 2008 - 17:27

Je hebt gelijk.
LaTeX
ofwel LaTeX analytisch in 0, dus
LaTeX

Veranderd door PeterPan, 22 februari 2008 - 17:27


#8

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 maart 2008 - 12:45

Kleine uitbreiding hierop:
LaTeX

Ik zou verwachten om ook hier een Deltafunctie te krijgen, maar er is gezegd dat deze wel nog de parameter LaTeX zou moeten bevatten. Klopt dit, want volgens bovenstaande redenering krijgt men ťťn als m=n en anders een oscillerende integrand dus nul. Voldoet dit misschien niet aan de 'exacte' definitie van delta functie en moet men eerst een substitutie doorvoeren?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures