Pagina 1 van 1
Limiet van een integraal
Geplaatst: vr 22 feb 2008, 10:56
door M.B.
Bereken volgende opgave. Ik heb reeds wat tips, maar ik zit met enkele prangende vragen hieromtrent.
\( \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_{0}^{T} e^{\frac{i(E_{n}-E_{m})}{\hbar}t} dt\)
Er is gezegd van die limiet ineens in te vullen waardoor je voor die integraal als bovengrens oneindig krijgt, wat op zijn beurt dan een delta-functie oplevert. Maar wat gebeurt er dan met die 1/T ? Als je daar oneindig invult krijg je 0...Of zit deze ineens mee in de delta functie?
Andere manier mogen ook.
Re: Limiet van een integraal
Geplaatst: vr 22 feb 2008, 11:03
door da_doc
Als En=Em, dan is de exp gelijk aan 1, en de uitkomst is dan T/T=1. Als En niet gelijk is aan Em, dan oscilleert de integrand rond nul als functie van T, en blijft dus een eindige waarde houden. Dan geeft de limiet met 1/T ervoor nul.
Re: Limiet van een integraal
Geplaatst: vr 22 feb 2008, 11:53
door M.B.
De integrand oscilleert (exp it = cost + i*sint ) inderdaad rond nul als functie van de tijd. Echter, als T->oneindig dan wordt het oppervlak onder de curve toch ook oneindig waardoor de limiet oneindig/oneindig wordt wat ongedefinieerd is.
Of integreer je eerst tot T, wat dan inderdaad een eindige waarde oplevert en vul je de limiet pas nadien in?
Re: Limiet van een integraal
Geplaatst: vr 22 feb 2008, 12:36
door da_doc
Tip: integraal is niet hetzelfde als oppervlak.
Re: Limiet van een integraal
Geplaatst: vr 22 feb 2008, 13:17
door PeterPan
Zie de reactie van da_doc.
Een iets andere benadering.
Met
\(\alpha = \frac{E_{n}-E_{m}}{\hbar} \neq 0\)
is vanwege de periodiciteit van
\(e^{it}\)
:
\( \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_{0}^{T} e^{\frac{i(E_{n}-E_{m})}{\hbar}t} dt =\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_{0}^{T} e^{i\alpha t} dt =\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{\alpha T}\int_{0}^{\alpha T} e^{i t} dt =\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_{0}^{T} e^{i t} dt =\)
\(\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{k\cdot 2\pi}\int_{0}^{k\cdot 2\pi} e^{i t} dt =\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\cdot 2\pi} e^{i t} dt =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\cdot 2\pi} e^{i t} dt \)
Nu is
\(f(z) = e^{iz}\)
analytisch in 0, dus
\(1 = f(0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma_1} \frac{f(z)}{z}\ dz =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i t} dt\)
Re: Limiet van een integraal
Geplaatst: vr 22 feb 2008, 16:40
door da_doc
Dat klopt niet, PeterPan.
Neem de integraal over een enkele periode van cos t of sin t: geeft nul. Dus als het interval [0,T] de decimaal lengte p.q maal die periode heeft, dan blijft in de integraal alleen 0.q periode over. Die integraal is eindig, dus maal 1/T en in de limiet =0.
Dit volgt ook uit symmetrie: sin(x)=-sin(-x). Voor grote waarden van T bestaat de integrand uit twee bijna even grote (in absolute zin) delen, resp. positief en negatief. Alleen de onbalans blijft over, en die is eindig.
Re: Limiet van een integraal
Geplaatst: vr 22 feb 2008, 17:27
door PeterPan
Je hebt gelijk.
\(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\cdot 2\pi} e^{i t} dt = \frac{e^{it}}{i}]_0^{2\pi} = 0\)
ofwel
\(f(z) = z\)
analytisch in 0, dus
\(0 = f(0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma_1} \frac{f(z)}{z}\ dz =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i t} dt\)
Re: Limiet van een integraal
Geplaatst: ma 03 mar 2008, 12:45
door M.B.
Kleine uitbreiding hierop:
\( \lim_{T\rightarrow \infty}\int_{0}^{T}e^{\frac{i}{\hbar} \{(E_{n}-E_{m})+((-1)^{n-1}-(-1)^{m-1} )\gamma \} t }dt\)
Ik zou verwachten om ook hier een Deltafunctie te krijgen, maar er is gezegd dat deze wel nog de parameter
\(\gamma\) zou moeten bevatten. Klopt dit, want volgens bovenstaande redenering krijgt men één als m=n en anders een oscillerende integrand dus nul. Voldoet dit misschien niet aan de 'exacte' definitie van delta functie en moet men eerst een substitutie doorvoeren?
