Springen naar inhoud

[getaltheorie] ringisomorfisme


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2008 - 17:14

Zij LaTeX een multiplicatief geschreven groep van orde twee. Definieer LaTeX door LaTeX voor LaTeX . Bewijs dat f een ringisomorfisme is.

Ik stel LaTeX . Laten zien dat f(u+v)=f(u)+f(v) is makkelijk. Als ik laat zien dat f(uv)=f(u)f(v) kom ik op een term (sigma)^2. Waarom moet dat gelijk zijn aan 1? Dan komt het uit.
De derde eigenschap die ik moet checken is f(1)=1, ik kom uit op f(1)=(1,1) en dat zal dan wel gelijk zijn 1 (waarom?).

Hiermee is f een ringhomomorfisme. Hoe bewijs ik vervolgens dat f bijectief is, zodat het een ringisomorfisme is? Dat f surjectief is, is intuÔtief duidelijk, maar hoe bewijs ik dit? En hoe bewijs ik injectiviteit?

Alvast bedankt!
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2008 - 19:35

Zij LaTeX

een multiplicatief geschreven groep van orde twee.

De orde twee betekent volgens mij dat LaTeX .

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2008 - 19:59

Zou je dat kunnen toelichten?
De orde van een groep is het aantal elementen van die groep. De orde van een element a is de kleinste positieve integer m zodat a^m=e (met e het identiteitselement).
Omdat de "binary operation" van deze groep vermenigvuldiging is, is 1 het identiteitselement van G.

Dus als de orde van het element LaTeX gelijk is aan 2, betekent dit dat LaTeX . Maar er staat: "...een groep van orde 2", wat m.i. simpelweg slaat op het feit dat G uit 2 elementen bestaat. (Hetgeen aan de andere kant wel overbodige informatie is.)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 februari 2008 - 00:49

Ik was in de war met de orde van een element. Vandaar het volgende:

G is een groep. Elk element van G heeft dus een inverse. De inverse van sigma kan niet 1 zijn want dat is het identiteitselement. Het moet dus sigma zelf zijn. Hieruit volgt dat sigma kwadraat gelijk moet zijn aan 1.

#5

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 februari 2008 - 12:50

Een gevolg van de stelling van Lagrange is dat voor eindige groepen de orde van een element altijd de orde van de groep deelt.
De orde van LaTeX kan dus alleen of 1 of 2 zijn. Het eerste kan niet, want dan moet LaTeX gelijk zijn aan de identiteit, dus moet het wel van orde 2 zijn.

#6

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 februari 2008 - 13:05

Waarom (1,1) het eenheidselement is van LaTeX valt ook uit te vogelen:

Uit de homomorfie-eigenschap f(uv)=f(u)f(v) haal ik met jouw u en v
(a+b,a-b)(c+d,c-d)=(ac+bd+ad+bc,ac+bd-ad-bc)

Noem x=a+b, y=a-b, z=c+d, w=c-d. Dan (ac+bd+ad+bc,ac+bd-ad-bc)=(xc+xd,yc-yd)=(xz,yw)
Dus staat hier dat de vermenigvulding in LaTeX als volgt gaat
(x,y)(z,w)=(xz,yw)
Duidelijk is nu dat (1,1) het eenheidselement is:
(x,y)(1,1)=(x*1,y*1)=(x,y)=(1*x,1*y)=(1,1)(x,y)

Surjectiviteit toon je aan door a=(x+y)/2 en b=(x-y)/2 te nemen. Invullen geeft f(a+LaTeX b)=(x,y) en hiermee is duidelijk dat je elk element van LaTeX kan krijgen.

Injectiviteit toon je aan door te laten zien dat de enige u waarvoor f(u)=(0,0) gelijk aan 0 moet zijn (oftewel dat ker f=0).
Dus f(a+LaTeX b)=(a+b,a-b) is gelijk aan (0,0). Het is duidelijk dat de enige a en b die tegelijk voldoen aan a+b=0 en a-b=0 alleen maar 0 en 0 kunnen zijn.

Veranderd door The Black Mathematician, 24 februari 2008 - 13:14


#7

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 februari 2008 - 13:23

Heb ik btw ook een vraag. Hoe krijg ik zo'n mooi teken voor de reŽle getallen? Ik gebruik mathbb, maar dan krijg ik een hele rare R.

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 februari 2008 - 13:29

Bedankt voor de antwoorden; ik begrijp het volledig :D

Heb ik btw ook een vraag. Hoe krijg ik zo'n mooi teken voor de reŽle getallen? Ik gebruik mathbb, maar dan krijg ik een hele rare R.

met de code \rr (\nn voor natuurlijke, \qq voor rationale, \cc voor complexe getallen. \zz voor gehele getallen lijkt echter niet te werken...)

LaTeX
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures