[getaltheorie] ringisomorfisme

Phys

Zij

\(G=\{1,\sigma\}\)

een multiplicatief geschreven groep van orde twee. Definieer

\(f:\rr[G]\to\rr \times\rr\)

door

\(f(a+b\sigma)=(a+b,a-b)\)

voor

\(a,b\in\rr\)

. Bewijs dat f een ringisomorfisme is.

Ik stel

\(u=a+b\sigma,v=c+d\sigma\)

. Laten zien dat f(u+v)=f(u)+f(v) is makkelijk. Als ik laat zien dat f(uv)=f(u)f(v) kom ik op een term (sigma)^2. Waarom moet dat gelijk zijn aan 1? Dan komt het uit.

De derde eigenschap die ik moet checken is f(1)=1, ik kom uit op f(1)=(1,1) en dat zal dan wel gelijk zijn 1 (waarom?).

Hiermee is f een ringhomomorfisme. Hoe bewijs ik vervolgens dat f bijectief is, zodat het een ringisomorfisme is? Dat f surjectief is, is intuïtief duidelijk, maar hoe bewijs ik dit? En hoe bewijs ik injectiviteit?

Alvast bedankt!

EvilBro

Zij
\(G=\{1,\sigma\}\)
een multiplicatief geschreven groep van orde twee.

De orde twee betekent volgens mij dat \(\sigma^2 = 1\).

Phys

Zou je dat kunnen toelichten?

De orde van een groep is het aantal elementen van die groep. De orde van een element a is de kleinste positieve integer m zodat a^m=e (met e het identiteitselement).

Omdat de "binary operation" van deze groep vermenigvuldiging is, is 1 het identiteitselement van G.

Dus als de orde van het element

\(\sigma\)

gelijk is aan 2, betekent dit dat

\(\sigma^2=1\)

. Maar er staat: "...een groep van orde 2", wat m.i. simpelweg slaat op het feit dat G uit 2 elementen bestaat. (Hetgeen aan de andere kant wel overbodige informatie is.)

EvilBro

Ik was in de war met de orde van een element. Vandaar het volgende:

G is een groep. Elk element van G heeft dus een inverse. De inverse van sigma kan niet 1 zijn want dat is het identiteitselement. Het moet dus sigma zelf zijn. Hieruit volgt dat sigma kwadraat gelijk moet zijn aan 1.

The Black Mathematician

Een gevolg van de stelling van Lagrange is dat voor eindige groepen de orde van een element altijd de orde van de groep deelt.

De orde van

\(\sigma\)

kan dus alleen of 1 of 2 zijn. Het eerste kan niet, want dan moet

\(\sigma\)

gelijk zijn aan de identiteit, dus moet het wel van orde 2 zijn.

The Black Mathematician

Waarom (1,1) het eenheidselement is van

\(\mathbb{R}^2\)

valt ook uit te vogelen:

Uit de homomorfie-eigenschap f(uv)=f(u)f(v) haal ik met jouw u en v

(a+b,a-b)(c+d,c-d)=(ac+bd+ad+bc,ac+bd-ad-bc)

Noem x=a+b, y=a-b, z=c+d, w=c-d. Dan (ac+bd+ad+bc,ac+bd-ad-bc)=(xc+xd,yc-yd)=(xz,yw)

Dus staat hier dat de vermenigvulding in

\(\mathbb{R}^2\)

als volgt gaat

(x,y)(z,w)=(xz,yw)

Duidelijk is nu dat (1,1) het eenheidselement is:

(x,y)(1,1)=(x*1,y*1)=(x,y)=(1*x,1*y)=(1,1)(x,y)

Surjectiviteit toon je aan door a=(x+y)/2 en b=(x-y)/2 te nemen. Invullen geeft f(a+

\(\sigma\)

b)=(x,y) en hiermee is duidelijk dat je elk element van

\(\mathbb{R}^2\)

kan krijgen.

Injectiviteit toon je aan door te laten zien dat de enige u waarvoor f(u)=(0,0) gelijk aan 0 moet zijn (oftewel dat ker f=0).

Dus f(a+

\(\sigma\)

b)=(a+b,a-b) is gelijk aan (0,0). Het is duidelijk dat de enige a en b die tegelijk voldoen aan a+b=0 en a-b=0 alleen maar 0 en 0 kunnen zijn.

The Black Mathematician

Heb ik btw ook een vraag. Hoe krijg ik zo'n mooi teken voor de reële getallen? Ik gebruik mathbb, maar dan krijg ik een hele rare R.

Phys

Bedankt voor de antwoorden; ik begrijp het volledig

Heb ik btw ook een vraag. Hoe krijg ik zo'n mooi teken voor de reële getallen? Ik gebruik mathbb, maar dan krijg ik een hele rare R.

met de code \rr (\nn voor natuurlijke, \qq voor rationale, \cc voor complexe getallen. \zz voor gehele getallen lijkt echter niet te werken...)

\(\rr \nn\qq\cc\)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[getaltheorie] ringisomorfisme

[getaltheorie] ringisomorfisme

Re: [getaltheorie] ringisomorfisme

Re: [getaltheorie] ringisomorfisme

Re: [getaltheorie] ringisomorfisme

Re: [getaltheorie] ringisomorfisme

Re: [getaltheorie] ringisomorfisme

Re: [getaltheorie] ringisomorfisme

Re: [getaltheorie] ringisomorfisme