Springen naar inhoud

Vectorruimte?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 februari 2008 - 18:25

Welke van de volgende verzamelingen zijn vectorruimten (hierbij zijn ai(x) willekeurige
functies van x)?

1) de oplossingsverzameling van het beginwaardenprobleem
a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1 (0 < x < 1)

2) de oplossingsverzameling van het randwaardenprobleem
a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0, αy(0) + βy′(0) = 0, γy(1) + δy′(1) = 0 (0 < x < 1)

De eerste is geen vectorruimte , de tweede wel.

Kan iemand verduidelijken?

Veranderd door Scofield, 24 februari 2008 - 18:26


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 februari 2008 - 18:43

De antwoorden voor toekomstige (eventueel ge´nteresseerde) bezoekers

De eerste is geen vectorruimte, omdat de nulfunctie geen deel uitmaakt van de oplossingenverzameling. Als je bijvoorbeeld de nulfunctie als oplossing zou nemen dan zou de afgeleide van de afgeleide gelijk moeten zijn aan 1, wat dus niet mogelijk is.

De tweede is een vectorruimte, omdat als je oplossingen gewoon invult je dus een "juiste" vergelijking krijgt.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 februari 2008 - 20:58

De oplossingsruimte van een zo'n lineaire differentiaalvergelijking van orde n levert een basis voor een vectorruimte van orde n, vandaar dat ik het eerst vreemd vond dat 1 er geen vormde. Ik was vergeten te kijken naar de voorwaarden, de nulvector (nulfunctie) moet er steeds toe behoren en dat is bij 1 inderdaad niet het geval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 februari 2008 - 23:37

Ja inderdaad. Dat was ook mijn eerste antwoord. Ik heb bij het oplossen van veel oefeningen ondervonden dat dit een zeer belangrijke eigenschap is. 1/4 van de oefeningen die ik maakte waren op te lossen door gebruik te maken van de eigenschap dat de nulfunctie (niet) behoorde tot de oplossingenverzameling.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 februari 2008 - 23:50

Dat is voor dit soort opgaven zeker een nuttige eigenschap, want de lineariteit is wel steeds voldaan. Voor een lineaire differentiaalvergelijking, is een lineaire combinatie van oplossingen immers opnieuw een oplossing.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures