Springen naar inhoud

Niveaukromme, contourkromme


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 februari 2008 - 00:31

Ik heb een beetje last met deze begrippen. Zou iemand kunnen verduidelijken, misschien ahv een voorbeeld.

ik zal er ineens een gerelateerde vraag bijzetten:

Een berg wordt mathematisch beschreven door de functie: f(x,y) = sin(x)*exp(y)+y^2

Bepaal de krommen in het XY-vlak waarlangs f constant is door ze grafisch voor te stellen (m.b.v. contourplot)

Veranderd door Scofield, 27 februari 2008 - 00:34


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 februari 2008 - 00:37

Ik herneem even de functie uit m'n vorig voorbeeld: z = f(x,y) met f(x,y) = x²+y².

Stel je hebt geen idee hoe dit oppervlak eruit ziet. Je kan dan kijken naar niveaukrommen. Je bekomt een niveaukromme door f(x,y) gelijk te stellen aan een constante, dus door te gaan kijken op een "vaste hoogte z = c".

Laten we dat even doen voor deze functie: x²+y² = c. Zoals je misschien nog weet, is dit de vergelijking van een cirkel met straal [wortel]c. Voor c = 0 (dus op hoogte z = 0) is de enige oplossing (0,0,0). Voor c = 1, heb je een cirkel met middelpunt (0,0,1) en straal 1, in het vlak z = 1. Voor c = 4 is dit een cirkel met straal 2 enzovoort. Hoe hoger je gaat kijken, hoe groter de cirkels (beginnend met een punt in de oosrpong).

De niveaukrommen zijn dus concentrische cirkels met stijgende straal voor stijgende z-waarden. Door bovendien nog x = 0 of y = 0 te stellen, zie je dat de "omhullende rand" van die cirkels in respectievelijk het yz-vlak en het xz-vlak, parabolen zijn met vergelijkingen z = y² en z = x². Het oppervlak dat je krijgt heet een "paraboloïde" (omwentelingsparabool).

Als je in een vlak de niveaukrommen van verschillende hoogtes tekent, krijg je een contourplot. Zoals al gezegd zijn dit allemaal concentrische cirkels.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 februari 2008 - 00:47

Ah geweldig. ik snap het. Bedankt voor de uitleg!

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 februari 2008 - 00:50

Opnieuw graag gedaan. Ik zie je toevoeging nu pas, lukt dat dan ook?
Ze vragen de krommen waarlangs f constant is, dus stel f(x,y) = c:

sin(x)*exp(y)+y² = c

Voor elke c (dit kun je zien als een parameter) geeft dit een kromme in het xy-vlak. Die krommen kan je ook zien als snijlijnen van het oppervlak z = f(x,y) met (horizontale) vlakken z = c, voor elke c. Zo ook in het vorig voorbeeld: de intersectie tussen de paraboloïde z = x²+y² met een vlak z = c, geeft een cirkel met vergelijking x²+y²=c enz.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 februari 2008 - 00:58

Ze vragen de krommen waarlangs f constant is, dus stel f(x,y) = c:


Ja, dit is niet echt to the point, maar wij hebben het een tijdje gelden gehad over functies van 2 veranderlijk en nu ben ik een beetje in de war. Er wordt gezegd dat als z=f(x,y), dus z afhankelijk van x en y, dat je een oppervlak zou krijgen. Nu als je die z eigenlijk zou vervangen door een constante heb je een krommen. Dit snap ik niet echt.

Ik zie het op het moment zo ahv een vb.

y(x)=x² <--> y(x)-x²=0 geeft nog altijd een functie in het XY-vlak

Als je nu z in functie stelt van x én y krijg je een oppervlak: z=f(x,y)

Waarom geeft die vervanging van z door een constante een kromme, ik zou geneigd zijn te zeggen gewoon terug een oppervlak

Veranderd door Scofield, 27 februari 2008 - 00:58


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 februari 2008 - 01:06

De grafiek van een functie van één variabele kun je voorstellen in het vlak. Als de functie afhangt van de variabele x, dan kun je aan de functiewaarde f(x) de y-coördinaat toekennen. Met elke x komt een beeld f(x) op de y-as overeen. Op die manier stel je de functie y = f(x) grafisch voor in het vlak, het geeft een kromme.

De grafiek van een functie van twee variabelen, kun je voorstellen in de ruimte. Als de functie afhangt van de variabelen x en y, dan kun je aan de functiewaarde f(x,y) de z-coördinaat toekennen (een "hoogte"). Met elk punt in het xy-vlak, komt zo een hoogte z overeen. Op die manier stel je de functie z = f(x,y) grafisch voor in de ruimte, het geeft een oppervlak.

Als je nu z niet laat variëren, maar je kijkt naar alle punten (x,y,z) waarvoor z constant is, stel z = c: (x,y,c). Je hebt geen drie assen nodig om dit grafisch voor te stellen, dit is een kromme in het vlak z = c, evenwijdig met het xy-vlak. Denk terug aan het voorbeeld z = x²+y², de paraboloïde (een oppervlak). Door dit oppervlak te snijden met het vlak z = 4, krijg je op hoogte 4 een cirkel te zien met straal 2. Deze cirkel, de snijlijn van het oppervlak met het vlak z = 4, is een kromme.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 februari 2008 - 01:09

Is hier dan in functie van x?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 februari 2008 - 01:13

Niet elke (vlakke) kromme kan je schrijven als y = f(x), dus y in functie van x. Zoals je misschien nog weet, mogen er bij één x-waarde geen twee verschillende y-waarden horen: een cirkel kan dus geen functie zijn. Het heeft dan ook geen voorschrift van de vorm y = f(x), maar dat neemt niet weg dat x²+y²=r² (cirkel met straal r) een kromme in het vlak is; snap je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 februari 2008 - 01:27

Ja, inderdaad. Wat is dan hier het verband tussen x en y (hiermee bedoel ik dan iets in de aard van "in functie van"? Waarschijnlijk is er geen verband en worden ze onafhankelijk van elkaar ingevuld.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 februari 2008 - 01:31

Je bedoelt voor de cirkel? Zoals ik net zei: een cirkel is geen functie en kan je dus ook niet schrijven als y = f(x). Je kan het wel opsplitsen in twee delen die dan elk een functie zijn: de bovenste en de onderste helft. Los daarvoor op naar y (als voorbeeld met straal 1):

LaTeX

Maar dat maakt voor het niveaukromme verhalen niet echt uit, het punt is dat de kromme met als vergelijking x²+y²=1, een vlakke kromme is. Telkens je een oppervlak z = f(x,y) snijdt met een vlak op een hoogte z = c (probeer je dit grafisch in te beelden, je snijdt een oppervlak horizontaal door) krijg je een kromme (niet per se uit te drukken als een functie) als snijlijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 februari 2008 - 01:35

Ja, inderdaad. Je hebt volledig gelijk. Ik wilde blijkbaar koste wat het kost een verband tussen die x en y. Ik zat met andere woorden gewoon verkeerd te redeneren. Een eerder praktische vraag: Hoe bepaal je die? (maw voorschrift)

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 februari 2008 - 01:40

Voorschrift van wat? Van de cirkel staat er nu al een paar keer...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 februari 2008 - 08:04

Nee nee. Ik vroeg me het voorschrift af van de snijding russen die opp en die hoogte z. (Ik weet wel niet of die te bepalen is?)

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 februari 2008 - 09:36

Voor een specifiek voorbeeld of in het algemeen?

Algemeen: voor z = f(x,y) wordt de niveaukromme op hoogte z = c gegeven door de vergelijking f(x,y) = c. Dit lijkt misschien precies hetzelfde, maar in het eerste geval is z een variabele; terwijl c een constante is (die je een zekere waarde geeft).

Denk terug aan het voorbeeld: het oppervlak van de paraboloïde werd gegeven door z = x²+y², maar de niveaukromme op hoogte 16 (snijlijn met het vlak z = 16, die 16 is de constante c) heeft als voorschrift x²+y² = 16. Dit is een cirkel met straal 4, een vlakke kromme dus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 februari 2008 - 13:57

Ja, inderdaad. Ik was helemaal vergeten dat dat gewoon je voorschrift was. Bedankt voor de uitleg (alweer)!!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures