Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 190
Een vraagje bij de volgende oefening:
f(x) = 1 / (1+x)²
Bepaalde machtreeks hiervoor is de vraag
Nu dacht ik het volgende:
de machtreeks 1/(1+x) = Σ (k=0 tot +
) (-x)^k
Aangezien de functie het kwadraat is van deze machtreeks:
1/(1+x)² = Σ (k=0 tot +
) (-1)^k.(x)^2k
Nu is de oplossing in men handboek:
1/(1+x)² = Σ (k=0 tot +
) (1+k).(-x)^k
.... Alvast bedankt voor reacties
Bericht
02-03-'08, 13:40
TD
-
- Berichten: 24.578
Je kan inderdaad vertrekken van de machtreeks voor g(x) = 1/(1+x).
Om te geraken tot f(x) = 1/(1+x)², bepaal eens g'(x), de afgeleide van g.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 190
Ahja, nu je het zegt
g'(x) = 1/(1+x)² = f(x)
Dus dan is f(x) = Σ (k=1 tot +
) k.(-x)^(k-1)
of f(x) = Σ (k=0 tot +
) (k+1).(-x)^k
Bedankt, maar is mijn eerste oplossing ook correct? (ik veronderstel van wel?)
Bericht
02-03-'08, 14:45
TD
-
- Berichten: 24.578
Bijna, nog even opletten met de tekens; want g'(x) = -f(x)...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 190
g'(x) = -1/(1+x)² = -f(x)
Dus dan is f(x) = Σ (k=1 tot +) -k.(-x)^(k-1)
of f(x) = Σ (k=0 tot +) (k+1).(-x)^k
Bericht
02-03-'08, 15:24
TD
-
- Berichten: 24.578
Ziet er goed uit!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 190
Bedankt.
Nog even een vraagje over een andere oefening:
Bepaal een reksontwikkeling van de volgende functies:
f(x) = ln ((1+x)/(1-x))
Nu dacht ik het volgende:
f(x) = ln ((1+x)/(1-x)) = ln (1+x) - ln(1-x)
en aangezien ln (1+x) = Σ(k=1 tot +oneindig) (-1)^k+1 . (x^k)/k
kan je het eerste deel hierdoor vervangen en met behulp van subsitutie (x => -x) het tweede deel.
Maar hierdoor kom ik op iets totaal anders uit dan wat m'n boek zegt, nl: 2. Σ(k=0 tot +oneindig) ((x^(2k+1)/(2k+1)).....
Bericht
02-03-'08, 16:12
TD
-
- Berichten: 24.578
Voor ln(1+x) heb je inderdaad (-1)^(k+1) x^k/k, dus:
\(\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \ldots\)
Voor ln(1-x) moet je x vervangen door -x, dus:
\(\ln(1-x) = -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- \ldots\)
Maar dit trek je af van ln(1+x), dus alle even termen vallen weg en de oneven termen worden verdubbeld.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 190
Hartelijk bedankt!!
Ik had er niet aan gedacht om de reeks even uit te schrijven en zat almaar met de sigma notatie te proberen om tot een regelmaat te komen...
Nu weet ik dat ook weer voor m'n toets van morgen: eerst even de reeks bekijken
Groetjes
Bericht
02-03-'08, 16:26
TD
-
- Berichten: 24.578
Alleen met de sigmanotatie kan het natuurlijk ook, maar even (enkele termen) uitschrijven biedt vaak meer inzicht.
Veel succes met je toets; laat maar even horen hoe het gegaan is
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 190
Zal ik zeker doen, bedankt
-
- Berichten: 190
Ik had even gewacht tot ik de uitslag van men toets wist en ze is heel goed: 38/40
.
Twee puntjes laten liggen bij een kort bewijsje in een oefening...
Nogmaaals bedankt voor jullie hulp
Bericht
05-03-'08, 14:55
TD
-
- Berichten: 24.578
Gefeliciteerd, mooi cijfer!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
