Springen naar inhoud

Stuksgewijze continu´teit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2008 - 19:42

Ik kom niet uit het verband tussen een aantal oefeningen (in de opgave wordt gevraagd of de volgende functies stuksgewijze continu zijn in [0, + oneindig]:

a) log(t│ + 1) is continu en dus ook stuksgewijze continu, maar log(t│) zou niet stuksgewijze continu zijn omdat log 0 niet bestaat en er dus een verticale asymptoot ontstaat

b) (2t + 1)/(2t - 1) is niet stuksgewijze continu vanwege een verticale asymptoot in 1/2

c) (t - 7)/(t▓ -5t -14) is dan weer wel stuksgewijze continu omdat 7 in de teller en de noemer geschrapt wordt zodat 1/(t+2) overblijft en -2 valt buiten de grens van de opgave

d) t*sin(1/t) niet continu, maar toch stuksgewijze continu omdat de limiet bestaat

e) t^t is stuksgewijze continu omdat lim(t --> 0) t^t = 1

f) f(t) = 1 als 0 =< t < a en f(t) = -1 als a =< t < 2a en f(t+2a)=f(t)
stuksgewijze continu

g) f(t) = 0 als t = 1/n , n = 1,2,3,... en f(t) = 1 anders (dus als er niet aan de vorige voorwaarden voldaan is)
niet stuksgewijze continu want er zijn oneindig veel discontinu´teiten.

Definitie van stuksgewijze continu´teit zegt:
f(t) is stuksgewijze continu op een gesloten interval [a,b] indien zij continu is op [a,b] behalve eventueel in een eindig aantal punten. In alle punten van (a,b) moet de rechter- en de linkerlimiet bestaan, in a de rechter- en in b de linkerlimiet.


Nu mijn vraag... In a werd gezegd dat voor log(t│) niet stuksgewijze continu is omdat er een verticale asymptoot aanwezig is in t=0 (waarom is dat trouwens dan niet stuksgewijze continu? Hij is toch maar op 1 plaats discontinu, en dus niet op oneindig veel punten, en er is een rechterlimiet aanwezig op 0? Dus er is voldaan aan de defnitie). Maar als ik dit nu link met vraag d, waar t*sin(1/t) WEL stuksgewijze continu is.. Daar is t=0 toch discontinu? (dit heb ik getest op de rekenmachine) en als ik me niet vergis werd er ook vermeld dat sin(1/t) dan weer niet stuksgewijze discontinu is. Hoe komt dit allemaal toch? Als ik sin(1/x) invoer op mijn rekenmachine bekom ik een continue functie met wederom een discontinu punt in x=0. Dus in het kort: waarom geldt het eindig aantal discontinu´teiten wel voor b en d, maar niet voor a?

een ander punt dat ik niet snap: voor g vinden we een oneindig aantal discontinu´teiten waardoor ze niet stuksgewijze continu is. Maar als ik dan f grafisch weergeef, dan bekom ik een tekening van blokken van deze vorm:
dddd-------ddddd-------

------ddddd------- de d's zijn spaties, anders worden de strepen aan elkaar vastgemaakt
enzovoort, hier zijn toch ook een oneindig aantal discontinu´teiten? Waarom wordt het hier dan weer wel als stuksgewijze continu beschouwd?


Alvast hartelijk bedankt voor degene die mij kan helpen! :D

Veranderd door bibliotheek357, 02 maart 2008 - 19:43

Niet weten is geen schande, niet willen weten wÚl, en persÚ beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 maart 2008 - 22:10

Nu mijn vraag... In a werd gezegd dat voor log(t│) niet stuksgewijze continu is omdat er een verticale asymptoot aanwezig is in t=0 (waarom is dat trouwens dan niet stuksgewijze continu? Hij is toch maar op 1 plaats discontinu, en dus niet op oneindig veel punten, en er is een rechterlimiet aanwezig op 0? Dus er is voldaan aan de defnitie).

Nee, de rechterlimiet in 0 bestaat niet.

Maar als ik dit nu link met vraag d, waar t*sin(1/t) WEL stuksgewijze continu is.. Daar is t=0 toch discontinu? (dit heb ik getest op de rekenmachine) en als ik me niet vergis werd er ook vermeld dat sin(1/t) dan weer niet stuksgewijze discontinu is. Hoe komt dit allemaal toch? Als ik sin(1/x) invoer op mijn rekenmachine bekom ik een continue functie met wederom een discontinu punt in x=0. Dus in het kort: waarom geldt het eindig aantal discontinu´teiten wel voor b en d, maar niet voor a?

Zowel t*sin(1/t) als sin(1/t) zijn discontinu in t = 0, maar de limiet voor t gaande naar 0 bestaat wel in het geval t*sin(t) (vandaar stuksgewijs continu, zie definitie) hetgeen niet het geval is voor sin(1/t).

een ander punt dat ik niet snap: voor g vinden we een oneindig aantal discontinu´teiten waardoor ze niet stuksgewijze continu is. Maar als ik dan f grafisch weergeef, dan bekom ik een tekening van blokken van deze vorm:
dddd-------ddddd-------

------ddddd------- de d's zijn spaties, anders worden de strepen aan elkaar vastgemaakt
enzovoort, hier zijn toch ook een oneindig aantal discontinu´teiten? Waarom wordt het hier dan weer wel als stuksgewijze continu beschouwd?

Je neemt hier nu sprongen op een vast afstand; in een gesloten interval [a,b] ga je er op deze manier altijd maar een eindig aantal hebben. Dat is niet zo voor de functie van opgave g, omdat 1/n voor alle natuurlijke n oneindig veel punten betreft in het interval [0,1].
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 maart 2008 - 21:29

Ik begrijp het tweede en het derde geval nu, maar voor log(x^3). Als ik daar de grafiek teken op mijn grafisch rekenmachine merk ik dat hij voor kleine waarden toch naar -oneindig gaat. Traag weliswaar, want voor x = 10^(-20) zit hij nog maar op y = -60, maar dat wijst er toch op dat hij naar -oneindig gaat en bijgevolg is er dan toch een rechterlimiet?
Niet weten is geen schande, niet willen weten wÚl, en persÚ beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 maart 2008 - 21:31

Met "als de limiet bestaat", wordt een limiet in :D bedoeld. Divergeren (naar + of - :D) hoort daar niet bij.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 maart 2008 - 21:51

oei :D Dit is best beschamend, maar ik wist dat niet.. Hartelijk bedankt voor de hulp! Nu kan ik eindelijk verder met het volgend hoofdstuk.
Niet weten is geen schande, niet willen weten wÚl, en persÚ beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 maart 2008 - 21:58

Het is een kwestie van definitie natuurlijk. Waarschijnlijk zal in je eerste definitie van een limiet, enkel over een limiet L in :D gesproken worden. Die definitie wordt dan soms 'uitgebreid' met +:D en -:D voor divergerende, niet-oscillerende functies (uiteindelijk monotoon stijgend of dalend). Als we echter spreken van het "bestaan" van een limiet, bedoelen we doorgaans een "echte" limiet: een reŰel getal dus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures