a) log(t³ + 1) is continu en dus ook stuksgewijze continu, maar log(t³) zou niet stuksgewijze continu zijn omdat log 0 niet bestaat en er dus een verticale asymptoot ontstaat
b) (2t + 1)/(2t - 1) is niet stuksgewijze continu vanwege een verticale asymptoot in 1/2
c) (t - 7)/(t² -5t -14) is dan weer wel stuksgewijze continu omdat 7 in de teller en de noemer geschrapt wordt zodat 1/(t+2) overblijft en -2 valt buiten de grens van de opgave
d) t*sin(1/t) niet continu, maar toch stuksgewijze continu omdat de limiet bestaat
e) t^t is stuksgewijze continu omdat lim(t --> 0) t^t = 1
f) f(t) = 1 als 0 =< t < a en f(t) = -1 als a =< t < 2a en f(t+2a)=f(t)
stuksgewijze continu
g) f(t) = 0 als t = 1/n , n = 1,2,3,... en f(t) = 1 anders (dus als er niet aan de vorige voorwaarden voldaan is)
niet stuksgewijze continu want er zijn oneindig veel discontinuïteiten.
Definitie van stuksgewijze continuïteit zegt:
f(t) is stuksgewijze continu op een gesloten interval [a,b] indien zij continu is op [a,b] behalve eventueel in een eindig aantal punten. In alle punten van (a,b) moet de rechter- en de linkerlimiet bestaan, in a de rechter- en in b de linkerlimiet.
Nu mijn vraag... In a werd gezegd dat voor log(t³) niet stuksgewijze continu is omdat er een verticale asymptoot aanwezig is in t=0 (waarom is dat trouwens dan niet stuksgewijze continu? Hij is toch maar op 1 plaats discontinu, en dus niet op oneindig veel punten, en er is een rechterlimiet aanwezig op 0? Dus er is voldaan aan de defnitie). Maar als ik dit nu link met vraag d, waar t*sin(1/t) WEL stuksgewijze continu is.. Daar is t=0 toch discontinu? (dit heb ik getest op de rekenmachine) en als ik me niet vergis werd er ook vermeld dat sin(1/t) dan weer niet stuksgewijze discontinu is. Hoe komt dit allemaal toch? Als ik sin(1/x) invoer op mijn rekenmachine bekom ik een continue functie met wederom een discontinu punt in x=0. Dus in het kort: waarom geldt het eindig aantal discontinuïteiten wel voor b en d, maar niet voor a?
een ander punt dat ik niet snap: voor g vinden we een oneindig aantal discontinuïteiten waardoor ze niet stuksgewijze continu is. Maar als ik dan f grafisch weergeef, dan bekom ik een tekening van blokken van deze vorm:
dddd-------ddddd-------
------ddddd------- de d's zijn spaties, anders worden de strepen aan elkaar vastgemaakt
enzovoort, hier zijn toch ook een oneindig aantal discontinuïteiten? Waarom wordt het hier dan weer wel als stuksgewijze continu beschouwd?
Alvast hartelijk bedankt voor degene die mij kan helpen!
