ik kwam tegenover het volgende te staan:
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a}\)
is convergent indien \(a>1\)
.Ik begrijp het bovenstaande wel, maar vroeg me af hoe zoiets te bewijzen is?
Als je het gewoon uitschrijft zie je dat
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a} = \frac{1}{1^a} + \frac{1}{2^a} + \frac{1}{3^a} + \cdots \)
, en dus, voor bv. \(a=3\)
, dat \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \)
.Mijn gevoel zegt me dit te bewijzen door de limiet te berekenen van de somrij
\(s\)
van de rij \(r\)
, met de n-de term van de rij \(r_n = \frac{1}{n^a}\)
, en dus \(s_n = \sum_{b=1}^n \frac{1}{b^a}\)
.Dus moeten we
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a} = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n\)
berekenen, en voor de som van rekenkundige of meetkundige rijen bestaan formules. Dan zou ik daarvan dus wel de limiet kunnen uitrekenen. En dus mijn vraag, kan iemand bepalen wat de reden is van deze meetkundige rij (als dit een meetkundige rij is), of kan iemand mij vertellen hoe ik berekenen naar welke waarde
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a}\)
convergeert?Alvast bedankt!
Denis
