Kan iemand mij alsjeblieft een paar nederlandse sites geven, waarop wordt uitgelegd hoe je een vierdegraadsvergelijking moet oplossen. Ik heb al de formule van cardano uitgewerkt voor derdegraadsvergelijkingen. Ik ben hierdoor een beetje geïnteresseerd geraakt in 4e graadsvergelijkingen, en wil nu ook weten hoe je deze moet oplossen, maar heb hier alleen maar engelstalige sites gevonden (inclusief de wikipedia) en daar snap ik niet zo bijzonder veel van. Heeft iemand dus Nederlands-talige-uitleg-sites voor mij?
~R
Laatste berichten
-
22:27
positie 1
-
21:34
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 8
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:24
Schroefdraad berekening 5
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Vierdegraadsvergelijking
-
- Berichten: 6.905
Re: Vierdegraadsvergelijking
Voor 4de graadsvergelijkingen bestaat er, als ik het goed voor heb, geen algemene formule.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Re: Vierdegraadsvergelijking
wellesVoor 4de graadsvergelijkingen bestaat er, als ik het goed voor heb, geen algemene formule.
-
- Berichten: 5.679
Re: Vierdegraadsvergelijking
Zie bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation of http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html
Voor 5e-graads en hoger is geen algemene oplossing.
Voor 5e-graads en hoger is geen algemene oplossing.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 6.905
Re: Vierdegraadsvergelijking
Okay, nu heb ik weer iets geleerdwelles
zal ik eens even doornemen
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Re: Vierdegraadsvergelijking
Ik zal een manier geven (in principe):
Begin met
De vergelijking
Haakjes uitwerken geeft een vierde graads vergelijking.
Vergelijk de coëficienten met die van (***).
Dat zijn 3 vergelijkingen.
Daaruit zijn
Begin met
\(x^4+a_3 x^3+ a_2 x^2 +a_1 x + a_0=0\)
Substitutie van \(x=z - \frac{a_3}{4}\)
levert een vergelijking van de vorm\(x^4+ b_2 x^2 +b_1 x + b_0=0\)
(***)De vergelijking
\((z^2+p)^2 - (qz + r)^2 = 0\)
is simpel op te lossen.Haakjes uitwerken geeft een vierde graads vergelijking.
Vergelijk de coëficienten met die van (***).
Dat zijn 3 vergelijkingen.
Daaruit zijn
\(q\)
en \(r\)
te elimineren, waarna je een derde graads vergelijking overhoudt, die je kunt oplossen.-
- Berichten: 76
Re: Vierdegraadsvergelijking
@ PeterPan,
Yes, I know.
Dat invullen en uitwerken is nog het leukste, op een gegeven moment heb je 20 breuken tussen haakjes, die je moet vermenigvuldigen met 6 breuken tussen haakjes. Heel leuk. Voor als je je verveeld enzo.
Maar ik ben meer opzoek naar een site die me echt aan me handje meeneemt. Ik kan nu tot aan een "Depressed quartic" een 4e-graads vergelijking opschrijven, totdat je ietse hebt in de vorm van
x4 + cx2 + dx + e = 0
Tot aan daar snap ik het nog wel aardig. Maar de uitleg van PeterPan, is voor mij (om het te snappen, als simpele 5 havoër) nog iets te... incompleet.
Hoe wil je de vergelijking
vergelijken met
?
Ik snap wel dat je
x² + 3x - 4 = 0
kan ontbinden in
(x+4)(x-1)
Maar hoe doe je dat als je met 4e graads machten werkt?
P.S.: Hoe werkt die editor, zodat je die formules als zo'n mooi .gif-som-plaatje kan plaatsen
?
~R
Yes, I know.
Dat invullen en uitwerken is nog het leukste, op een gegeven moment heb je 20 breuken tussen haakjes, die je moet vermenigvuldigen met 6 breuken tussen haakjes. Heel leuk. Voor als je je verveeld enzo.
Maar ik ben meer opzoek naar een site die me echt aan me handje meeneemt. Ik kan nu tot aan een "Depressed quartic" een 4e-graads vergelijking opschrijven, totdat je ietse hebt in de vorm van
x4 + cx2 + dx + e = 0
Tot aan daar snap ik het nog wel aardig. Maar de uitleg van PeterPan, is voor mij (om het te snappen, als simpele 5 havoër) nog iets te... incompleet.
Hoe wil je de vergelijking
vergelijken met
?
Ik snap wel dat je
x² + 3x - 4 = 0
kan ontbinden in
(x+4)(x-1)
Maar hoe doe je dat als je met 4e graads machten werkt?
P.S.: Hoe werkt die editor, zodat je die formules als zo'n mooi .gif-som-plaatje kan plaatsen
?~R
Re: Vierdegraadsvergelijking
Kun je de vergelijking
\((z^2+p)^2 - (qz + r)^2 = 0\)
helemaal oplossen?-
- Berichten: 76
Re: Vierdegraadsvergelijking
Hoe bedoel je, oplossen? Als oplossen uitwerken is, denk ik dat ik de onderstaande haakjes juist heb weggewerkt.
(z²+p)²-(qz+r)²=0
(z²+p)(z²+p) - (qz+r)(qz+r) = 0
z4 + 2z²p + p² - q²z² - 2qzr - r² = 0
~R
(z²+p)²-(qz+r)²=0
(z²+p)(z²+p) - (qz+r)(qz+r) = 0
z4 + 2z²p + p² - q²z² - 2qzr - r² = 0
~R
-
- Berichten: 2.746
Re: Vierdegraadsvergelijking
En die vergelijking kan je nu vergelijken met die van je oorspronkelijke vergelijking na substitutie. Om zo te weten wat je parameters zijn.z4 + 2z²p + p² - q²z² - 2qzr - r² = 0
Maar 'oplossen' staat normaal voor het zoeken van je onbekende, wat jij gedaan hebt is eerder uitwerken ofzo.
Dus z= ... (algemeen verwacht je 4 oplossingen, waarvan sommige misschien dubbel of complex)
Re: Vierdegraadsvergelijking
Nee, oplossen gaat als volgt:
We gaan uit van
Dat kun je ook zo schrijven
Uit
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Jouw uitwerking gaf
We gaan uit van
\((z^2+p)^2-(qz+r)^2=0\)
.Dat kun je ook zo schrijven
\((z^2+p)^2 = (qz+r)^2\)
Worteltrekken aan beide kanten:\(|z^2+p| = |qz+r|\)
Let op, hier gebruik ik absolute-waarde strepen, want in het algemeen geldt \(\sqrt{z^2}=|z|\)
en niet \(\sqrt{z^2}= z\)
(Kies maar eens \(z=-2\)
en je ziet waarom).Uit
\(|z^2+p| = |qz+r|\)
volgt\(z^2+p = qz+r\)
of \(z^2+p = -(qz+r)\)
en dat kan ik ook zó schrijven:\(z^2-qz+(p-r) = 0\)
of \(z^2+qz+(p+r) = 0\)
Deze 2 vierkantsvergelijkingen geven 4 oplossingen!---------------------------------------------------------------------------------------------------
Jouw uitwerking gaf
\(z^4 + 2z^2 p + p^2 - q^2z^2 - 2qzr - r^2 = 0\)
ofwel anders gezegd:\(z^4 + (2p-q^2) z^2 -2qrz+ (p^2 - r^2) = 0\)
Kom je hier verder mee?-
- Berichten: 76
Re: Vierdegraadsvergelijking
Hoezo volgt ook de -(qz+r) hieruit? Heeft dat te maken met dat alles absoluut is?PeterPan
Uit
volgt
[url=http://java%20script:void(0);][/url] of
En met wat ik heb opgeschreven kom ik niet echt verder...
Verder valt hier niet veel mee te doen:
z4+ (2p-q²)z² - 2qrz + (p²-r²) = 0
of
z4 + 2pz² - q²z² = 2qrz + (p-r)²
Dat oplossen, wat je liet zien, snap ik, en kan ik ook. Ik snapte alleen de vraag niet echt
.De 2 vierkantsvergelijkingen die jij gaf kan ik wel oplossen. Met ABC-Formule, uiteraard.
Voor de eerste geldt:
A = z²
B = -qz
C = (p-r)
en #2.
A = z²
B = qz
C = (p+r)
-
- Berichten: 2.746
Re: Vierdegraadsvergelijking
|a|=b <-> a=b of -a=bHoezo volgt ook de -(qz+r) hieruit? Heeft dat te maken met dat alles absoluut is?
-
- Berichten: 76
Re: Vierdegraadsvergelijking
...omdat a absoluut is, dus het is hoe-dan-ook positief. Toch? If so, dan snap ik het.
Maar, hoe zit het dan met dat deel waarin je de coëfficiënten p, q, r en z vergelijkt met b2, b1 en b0?
Hoe werkt dat?
~R
Maar, hoe zit het dan met dat deel waarin je de coëfficiënten p, q, r en z vergelijkt met b2, b1 en b0?
Hoe werkt dat?
~R
-
- Berichten: 2.746
Re: Vierdegraadsvergelijking
|a| is positief, a daarom niet per se!...omdat a absoluut is, dus het is hoe-dan-ook positief. Toch? If so, dan snap ik het.
