Als tweede stap zou de wrijving via een simpele manier kunnen worden toegevoegd om te berekenen hoe de acceleratie afneemt afhankelijk van de snelheid (en hoe misschien ook de maximumsnelheid te berekenen is.
Ook zonder enige vorm van wrijving neemt de acceleratie af met de snelheid (bij een constant vermogen). Dat komt omdat het koppel op de wielen afneemt met de snelheid (want anders blijft het vermogen niet gelijk). Als het vermogen constant is, dan geldt:
\(E=E_{0}+Pt\)
. In dit geval
\(E=½mv^2\)
en
\(E_{0}=0\)
, invullen:
\(v(t)=\sqrt{\frac{2Pt}{m}}\)
De maximumsnelheid is te berekenen door een krachtenevenwicht. Newton zegt dat de trein niet meer versnelt als de som van de wrijvingen gelijk is aan de aandrijvende kracht;
\(F_{aandrijf}=½C_{w}\rho A v^2+\mu W\)
, maar
\(P=Fv\)
dus
\(F_{aandrijf}=\frac{P}{v}\)
dus
\(\frac{P}{v}=½C_{w}\rho A v^2+\mu W\)
Dit oplossen voor v en je hebt je maximum snelheid bij aanwezigheid van wrijving (anders is er natuurlijk geen maximum snelheid).
\(P\)
=vermogen
\(v\)
=snelheid
\(C_{w}\)
=luchtwrijvingscoëfficiënt (drag coefficient)
\(\rho\)
=dichtheid lucht
\(A\)
=frontaal oppervlak
\(\mu\)
=rolwrijvingscoëfficiënt
\(W\)
=gewicht trein (gewicht is in N, niet in kg)
\(m\)
=massa trein
Als je een snelheid-tijd functie voor de trein wilt met inbegrip van wrijvingen, vul dan de tweede wet van Newton in;
\(\sum F = ma\)
\(\frac{P}{v}-½C_{w}\rho A v^2-\mu mg=ma\)
ofwel
\(\frac{P}{mv}-\frac{C_{w}\rho A}{2m}v²-\mu g=\frac{dv}{dt}\)
ofwel
\(\frac{dv}{dt}=-\frac{C_{w}\rho A}{2m}v²+\frac{P}{m}v^{-1}-\mu g\)
ofwel
\(\frac{dv}{dt}=-av²+bv^{-1}-c\)
met a, b en c constanten, namelijk:
\(a=\frac{C_{w}\rho A}{2m}\)
,
\(b=\frac{P}{m}\)
,
\(c=\mu g\)
.
Hier loop ik vast. Separeren geeft een voor mij te lastige linker integraal;
\(\int \frac{dv}{-av²+bv^{-1}-c}=\int dt\)
Misschien kunnen de wat beter wiskundig onderlegden met de linker integraal helpen of weet men een oplossingsmethode zonder dat separeren. Misschien kan een computerprogramma hier wel soelaas bieden. Ik denk dat je even moet afwachten tot men dit topic leest. Succes.
