Springen naar inhoud

[wiskunde] infimum en supremum


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 maart 2008 - 18:14

reele_rechte.jpg

(a)
Hoe bewijs je dat nul een ondergrens is? Is het voldoende om te laten zien dat: LaTeX ?

(b)
Wat is de Archimedische eigenschap?
Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 maart 2008 - 19:02

Wat is de Archimedische eigenschap?

Even zoeken met Google leverde mij deze pdf met daarin het antwoord:

"Voor elk reeŽl getal LaTeX is er een natuurlijk getal LaTeX zodat LaTeX "
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 maart 2008 - 19:39

Die Archimedische eigenschap is een van de belangrijkste eigenschappen van de reŽle getallen, zie daarvoor (algemener) ook hier of hier.

Wat is je definitie van ondergrens? Waarschijnlijk een getal p zodat p :D x voor alle x uit de verzameling. Alle getallen van de vorm 1/n met n uit :P zijn positief, dus sowieso geldt dat ze niet kleiner zijn dan 0 (waardoor 0 een ondergrens is).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 maart 2008 - 21:15

a) LaTeX . Is geldig voor elke strikt positieve n.

Veranderd door stoker, 22 maart 2008 - 21:16


#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 maart 2008 - 21:29

Volgens mij gaat het dirkwb vooral om het bewijzen. DŠt alles waar is, 'ziet' iedereen direct.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 maart 2008 - 21:47

Volgens mij gaat het dirkwb vooral om het bewijzen. DŠt alles waar is, 'ziet' iedereen direct.

dat van mij is toch een bewijs? vermenigvuldig linker en rechter lid met 'n'?

#7

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 maart 2008 - 23:15

Even zoeken met Google leverde mij Bericht bekijken

Wat is je definitie van ondergrens? Waarschijnlijk een getal p zodat p :D x voor alle x uit de verzameling.

Klopt.

Alle getallen van de vorm 1/n met n uit :P zijn positief, dus sowieso geldt dat ze niet kleiner zijn dan 0 (waardoor 0 een ondergrens is).

Ok, ik moest het dus in de definitie van natuurlijke getallen zoeken.

Maar hoe bewijs ik dan dat dit het infimum is? Moet ik daarvoor een getal nemen die iets groter is en bewijzen dat dat geen ondergrens kan zijn?
Quitters never win and winners never quit.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 maart 2008 - 23:26

Het is het infimum indien het de grootste ondergrens is. Dit volgt direct uit opgave (b), aangezien je daar hebt aangetoond dat geen enkel positief getal een ondergrens is. Aangezien 0 wel een ondergrens is, volgt samen met (b) dat het de grootste is; dus het infimum.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 maart 2008 - 15:37

Het is het infimum indien het de grootste ondergrens is. Dit volgt direct uit opgave (b), aangezien je daar hebt aangetoond dat geen enkel positief getal een ondergrens is. Aangezien 0 wel een ondergrens is, volgt samen met (b) dat het de grootste is; dus het infimum.

Duidelijk.

Kan ik bij opgave (d) zeggen dat elke negatief getal een ondergens is en dus de kleinste ondergrens (het minimum) niet bestaat?
Quitters never win and winners never quit.

#10

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 maart 2008 - 17:48

een minimum is geen kleinste ondergrens he! dan zou geen enkele begrensde rij een minimum hebben?

als een verzameling reele getallen een minimum bezit, dan is dat gelijk aan het infimum. Stel dat het minimum hier bestaat, dat zou dat nul moeten zijn, maar nul kan je op geen enkele manier maken uit 1/n.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 maart 2008 - 21:39

Zo volgt het inderdaad uit de kennis van c. Los daarvan: veronderstel dat er een minimum is, dus er is een k in :D zodat 1/k het minimum is. Toon aan dat dit niet kan, neem eender welke n > k; dan is 1/n < 1/k en toch in de verzameling.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 maart 2008 - 11:21

als een verzameling reele getallen een minimum bezit, dan is dat gelijk aan het infimum. Stel dat het minimum hier bestaat, dat zou dat nul moeten zijn, maar nul kan je op geen enkele manier maken uit 1/n.

Dus er is alleen sprake van een minimum als het infimum onderdeel is van de verzameling?

Los daarvan: veronderstel dat er een minimum is, dus er is een k in :D zodat 1/k het minimum is. Toon aan dat dit niet kan, neem eender welke n > k; dan is 1/n < 1/k en toch in de verzameling.

Dus het minimum bestaat niet, omdat als 1/k een minimum zou zijn, ik een n in :P kan vinden die kleiner is dan 1/k, toch?
Quitters never win and winners never quit.

#13

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 maart 2008 - 15:07

Dus er is alleen sprake van een minimum als het infimum onderdeel is van de verzameling?

Ja, en dat kan je redelijk eenvoudig bewijzen.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 maart 2008 - 16:16

Dus er is alleen sprake van een minimum als het infimum onderdeel is van de verzameling?

Een minimum is gedefinieerd als een element van de verzameling, niet groter dan alle andere elementen.

Dus het minimum bestaat niet, omdat als 1/k een minimum zou zijn, ik een n in :D kan vinden die kleiner is dan 1/k, toch?

Je zou een n kunnen vinden zodat 1/n kleiner is dan 1/k (niet n zelf), neem namelijk gewoon n > k.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures