Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Bert F

Men heeft dat men de methode van jacobi voor het oplossen van stelsels ook nog kan schrijven als:

Afbeelding

Met D de diagonaal matrix die op de diagonaal al de waarden van A aanneemt en daarbuiten 0.

Hoe komt men aan formule 4.13? hoe kan men die afleiden?

Groeten.

PeterPan

Aan te tonen:

\(e^{m+1} = (I-D^{-1}A)e^m\)

Die

\(D^{-1}\)

komt niet in de gegevens ervoor voor, dus wil ik die weghebben.

Vermenigvuldigen met

\(D\)

geeft:

Aan te tonen:

\(De^{m+1} = (D-A)e^m\)

Nu is

\((D-A)e^m = De^m-Ae^m = \cdots\)

de definie van

\(e^m\)

substitueren en zo ver mogelijk uitwerken en

maak gebruik van

\(Ax_{ex}=b\)

en

\(Dx^{m+1} -Dx^m = b-Ax^m\)

.

Bert F

Maar hoe kom jij aan x^m+1? dat volgt toch niet uit de def van e^m?

PeterPan

Bedoel je

\(Dx^{m+1} -Dx^m = b-Ax^m\)

?

Bert F

in de def van e^m staat toch geen x^m+1 hoe kan er dan in je uitwerking x^m+1 voor komen? Groeten.

TD

Ik kan je afbeelding niet zien...

Bert F

ik zal ze zo toevoegen.

TD

Je kan zoals PeterPan werken, ofwel in de andere richting; vertrek van:

\(D\vec x^{m + 1} = \vec b - \left( {A - D} \right)\vec x^m \)

Substitutie van \(\vec e^m = \vec x^m - \vec x_{{\rm{ex}}} \Leftrightarrow \vec x^m = \vec e^m + \vec x_{{\rm{ex}}} \) levert:

\(D\left( {\vec e^m + \vec x_{{\rm{ex}}} } \right) = \vec b - \left( {A - D} \right)\left( {\vec e^m + \vec x_{{\rm{ex}}} } \right)\)

Je kan nu wat vereenvoudigen. De D.x_ex valt in beide leden weg. De term A.e_ex is precies b, dus die vallen tegen elkaar weg. Vermenigvuldig beide leden nog met de inverse van D om tot (4.13) te komen.

Bert F

dus x^m+1 is gelijk aan x^m ?

TD

Nee, maar ik zie waarom je in de war bent: in het linkerlid ben ik de +1 vergeten. Dus:

\(D\left( {\vec e^{m+1} + \vec x_{{\rm{ex}}} } \right) = \vec b - \left( {A - D} \right)\left( {\vec e^m + \vec x_{{\rm{ex}}} } \right)\)

Bert F

Bedankt ik heb het. Het probleem zat hem vooral in het feit dat men uiteindelijk e^m+1 gebruikt bij x^m+1 dus x^m+1 geeft samen met de definitie aanleiding tot e^m+1.

Groeten.

Bert F

men heeft voor de methode van gauss-siedel volgende formule:

\(Dx^{m+1}=B-Lx^{m+1}-Ux^m\)

ook hier voert men ook de fout

\(e^m=x^m-x_{ex}\)

in

zodat men bekomt

\(e^{m+1}=(I-(D+L)^{-1}A)e^m\)

als ik nu vanaf deze formule vertrek dan bekom ik idd terug de formule van gauss siedel maar als ik van de formule van gauss-siedel vetrek kom ik niet tot deze formule maar wel:

\(e^{m+1}=-(D+L)^{-1}Ue^m\)

is dit equivalent? waarom bekom ik niet de juiste formule? Groeten.

Bert F

Mss is het best om even mijn uitwerking te posten dan vinden jullie mss een fout daarin:

\(D(e^{m+1}+x_{ex})=b-L(e^{m+1}+x_{ex})-U(e^{m}+x_{ex}) \)

\(De^{m+1}+Le^{m+1}+Ue^m=b-(D+L+U)x_{ex}\)

waar nu

\(A=D+L+U\)

zodat die samen met die b wegvalt. en dan bekom ik:

\(e^{m+1}=-(D+L)^{-1}Ue^m\)

TD

Ik vond je fout niet, omdat het niet fout is

Vervang U door A-(D+L), want A = U+L+D; dus:

\( - \left( {D + L} \right)^{ - 1} \left( {A - \left( {D + L} \right)} \right) = - \left( {D + L} \right)^{ - 1} A + \left( {D + L} \right)^{ - 1} \left( {D + L} \right) = I - \left( {D + L} \right)^{ - 1} A\)

Bert F

Ah oké bedankt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.

Re: Methode van jacobi voor het oplossen van stelsels.