Springen naar inhoud

Vier ronddraaiende ellipsvormen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Josvdp

    Josvdp


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2008 - 15:03

Een wiskundig probleem waar ik op stuit omvat 4 (naar verwachting) ellipsen die ronddraaien (zie illustraties hier onder). Deze ellipsen zijn tijdens deze draai onafgebroken in contact met elkaar. Ze mogen elkaar niet snijden maar ze mogen ook niet loskomen, ze mogen elkaar dus slechts in een punt raken.

A-la, niet zo ingewikkeld zou je zeggen toch? Tenminste, dat dacht ik. Als je echter een model gaat maken kom je er achter dat dit niet mogelijk is met een zuivere ellips. In het model overlapten de ellipsen elkaar en pas na hier en daar bijsnijden kreeg ik een model dat - op het oog - voldoende was. Echter is praktijk voor mij niet genoeg en ik moet de theorie zien te bemachtigen waaruit deze vormen ontstaan. Voor de duidelijkheid is hieronder het een en ander aan illustraties gegeven.

Vraagstuk(ken):
- Wat is de theoretische benadering van deze vorm?
- Hoe verhouden de hoogte, breedte en lengte zich in deze vorm? Oftewel, zijn er meerdere soorten vormen mogelijk?

Beginstand ellipsen, allen draaien clockwise:
Geplaatste afbeelding

Voorbeeld van hoe de ellipsen staan na 45 graden:
Geplaatste afbeelding

Animatie van de draai (counter clockwise):
Filmpje

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 maart 2008 - 17:07

Is dit een opdracht die je moet oplossen, of is dit iets dat je zelf bedacht hebt of ...?

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 maart 2008 - 19:10

Verplaatst naar meetkunde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 26 maart 2008 - 21:07

Verplaatst naar meetkunde.

??? Daar zitten we toch al???

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 maart 2008 - 21:12

Nu wel ja. Het stond in wiskunde algemeen, dacht ik :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 maart 2008 - 09:28

De oplossing is verrassend eenvoudig.

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 maart 2008 - 11:33

@PeterPan: leuke opmerking. Is het eigenlijk wel een ellips?

#8

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 27 maart 2008 - 12:31

Ik ken iets dergelijks met twee tegen elkaar in draaiende lemniscaten die elkaar steeds blijven raken.
Wordt praktisch gebruikt bij een bepaald type vacuŁmpomp en die doe het erg goed.

#9

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 27 maart 2008 - 12:37

Ik ken iets dergelijks met twee tegen elkaar in draaiende lemniscaten die elkaar steeds blijven raken.
Wordt praktisch gebruikt bij een bepaald type vacuŁmpomp en die doet het erg goed.
Zie de tekening op deze link.
Sorry, dat ik even afdwaalde maar niemand heeft nog een goed antwoord gegeven.
Helaas is er geen standaardtechniek waarop je kunt terugvallen.
WELLICHT LUKT HET MET VIER IDENTIEKE LEMNISCATEN IN PLAATS VAN ELLIPSACHTIGE OBJECTEN.
Ik kan niet bewijzen, dat dit DE oplossing is.

Veranderd door thermo1945, 27 maart 2008 - 12:47


#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 maart 2008 - 12:57

@PeterPan: leuke opmerking. Is het eigenlijk wel een ellips?

Nee, eigenlijk nog iets simpelers.

Veranderd door PeterPan, 27 maart 2008 - 12:59


#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 maart 2008 - 13:27

Telkens raakt de spitse punt aan de bolle kant van de "ellips".
Nemen we voor de spitse punt een stukje van een cirkel met straat LaTeX en voor de bolle kant een stuk van een cirkel met straal LaTeX .
De "ellipsen" zijn telken een kwart slag gedraaid.
Veronderstel de "ellips" heeft halve lengte "a" en halve breedte "b" en de middelpunten van de "ellipsen" liggen op de cirkel LaTeX .
Dan is LaTeX .
We plaatsen de spitse punt op de juiste plek als de ellips in het eerste kwadrant een hoek LaTeX gedraaid is.
cirkel LaTeX , naar links LaTeX , draaien LaTeX en middelpunt verplaatsen LaTeX .
Analoog voor de bolle kant
LaTeX
Bolle kant en scherpe punt hebben precies 1 punt gemeen.
Gelijkstellen geeft
LaTeX
ofwel
LaTeX
en daaraan is altijd voldaan als
LaTeX en LaTeX
Dus als de straal van de spitse punt + de straal van de bolle kant = 2 heb je een oplossing die aan de eisen voldoet.

#12

Josvdp

    Josvdp


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 maart 2008 - 15:39

Ik ken iets dergelijks met twee tegen elkaar in draaiende lemniscaten die elkaar steeds blijven raken.
Wordt praktisch gebruikt bij een bepaald type vacuŁmpomp en die doet het erg goed.
Zie de Bericht bekijken

Telkens raakt de spitse punt aan de bolle kant van de "ellips".
Nemen we voor de spitse punt een stukje van een cirkel met straat LaTeX en voor de bolle kant een stuk van een cirkel met straal LaTeX .
De "ellipsen" zijn telken een kwart slag gedraaid.
Veronderstel de "ellips" heeft halve lengte "a" en halve breedte "b" en de middelpunten van de "ellipsen" liggen op de cirkel LaTeX .
Dan is LaTeX .
We plaatsen de spitse punt op de juiste plek als de ellips in het eerste kwadrant een hoek LaTeX gedraaid is.
cirkel LaTeX , naar links LaTeX , draaien LaTeX en middelpunt verplaatsen LaTeX .
Analoog voor de bolle kant
LaTeX
Bolle kant en scherpe punt hebben precies 1 punt gemeen.
Gelijkstellen geeft
LaTeX
ofwel
LaTeX
en daaraan is altijd voldaan als
LaTeX en LaTeX
Dus als de straal van de spitse punt + de straal van de bolle kant = 2 heb je een oplossing die aan de eisen voldoet.

Wat een geweldige hulp! Hier ga ik nog even goed naar kijken. Wat ik me halverwege deze berekening dacht is dat ik met nog een ander probleem zit wat ik misschien theoretisch op kon lossen (was het van plan praktisch te doen).

Het raakpunt van de 'ellipsen' beweegt namelijk over de bovenkant van iedere rotor heen. Hiervan is een illustratie te zien onderaan deze post (verzameling van raakpunten is blauw gemarkeerd). Het lukt mij niet om de lengte tussen de uiterste raakpunten te berekenen. Moet ik dit grafisch oplossen of kan hier een theorie achter gevonden worden?

Geplaatste afbeelding

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 maart 2008 - 11:08

In het bovenstaande heb ik geen rekening gehouden met de overgang van (spits,bol) naar (bol,spits).
Daarin kan een knikje zitten.
Als je dat wilt vermijden en de "ellips" overal glad wil hebben, dan volgt uit berekeningen dat
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX en
van de kleine cirkel (met straal LaTeX ) is precies een kwart cirkel zichtbaar (jouw dikke lijn).

De cirkels zijn LaTeX
waarbij LaTeX een cirkel voorstelt met middelpunt LaTeX en straal LaTeX .

Veranderd door PeterPan, 31 maart 2008 - 11:11


#14

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 31 maart 2008 - 18:46

Als je dat wilt vermijden en de "ellips" overal glad wil hebben, dan ...

En wat voor figuur is het nu?
En welke soort figuur beschrijft de verzameling raakpunten?

Veranderd door thermo1945, 31 maart 2008 - 18:48


#15

Josvdp

    Josvdp


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 april 2008 - 21:34

Ok, ik heb de berekeningen nog eens bekeken en ik snapte in eerste instantie niet zo goed wat de reden was dat je dit imaginair deed. Ik denk echter dat dit moest omdat de middelpunten van de cirkels niet beschreven konden worden, klopt dat?

De bedoeling is om nu met de raakpunten de oppervlaktes te berekenen die ontstaan. De grootst mogelijk oppervlakte en de kleinst mogelijke oppervlakte. De manier kleinst mogelijke oppervlakte te berekenen is te vinden in de illustratie. Hierbij vormen de raakpunten een vierkant waarna de oppervlaktes van de delen van de cirkel af worden getrokken van dit geheel. Dit kan ik natuurlijk zelf doen, maar helaas lukt het mij niet om de vierkant samen te stellen die uit de raakpunten voortvloeit. Iemand tips?
Geplaatste afbeelding





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures