Cirkel rakend aan parabool

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 244

Cirkel rakend aan parabool

Gegeven een parabool:
\(y=\frac{x^2}{4F} \)
(F de brandpuntafstand) met daarop een cirkel met middelpunt
\((x_m,y_m)\)
en straal r die de parabool raakt in het punt
\((x_p,y_p)\)
Gevraagd is te bewijzen:
\(y_m=\frac{x_p^2}{4F}+\frac{2Fr}{\sqrt{x_p^2+4F^2}}\)
waarbij
\((x_p,y_p)\)
het raakpunt is van de cirkel met de parabool.

Ik kom hier niet zo goed uit, ik kom niet verder dan de vergelijking voor de parabool in te vullen en dan uit simpele geometrie af te leiden dat:
\(y_m=\frac{x_p^2}{4F}+\sqrt{r^2-(x_p-x_m)^2}\)
, echter ik kan geen onafhankelijke vergelijking vinden om
\(x_m\)
te beschrijven. Ik gok dat de brandpuntsafstand F hiermee te maken heeft, maar ik zie deze relatie niet direct. Kan iemand me misschien verder op weg helpen?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cirkel rakend aan parabool

Gegeven een parabool:
\(y=\frac{x^2}{4F} \)
(F de brandpuntafstand) met daarop een cirkel met middelpunt
\((x_m,y_m)\)
en straal r die de parabool raakt in het punt
\((x_p,y_p)\)
Deze zin met 'daarop ...', begrijp ik niet.

Is het de par met een cirkel die de par raakt of ...?

Berichten: 244

Re: Cirkel rakend aan parabool

Een tekening zal volgens mij wel verhelderend werken:

Afbeelding

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cirkel rakend aan parabool

OK!

Je moet het gegeven 'raken' gebruiken, dus bepaal rico vd raaklijn in (x_p,y_p) aan de par. Bepaal de verg van de loodlijn hierop in (x_p,y_p) en gebruik het feit dat het punt (x_m,y_m) op deze loodlijn ligt. Bepaal hieruit y_m-y_p en vul dit in in je cirkelverg.

Succes.

Ik neem aan dat dit niet de enige opdracht is.

Berichten: 244

Re: Cirkel rakend aan parabool

Vergelijking van de cirkel:
\((x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2\)
De rico van de parabool in het punt
\((x_p, y_p)\)
is gelijk aan:
\(\frac{x_p}{2F}\)
en de rico van de loodlijn op de raaklijn in datzelfde punt is dus
\(\frac{-2F}{x_p}\)
. Tevens geldt dat het middelpunt van de cirkel op deze loodlijn ligt dus:
\(\frac{y_p-y_m}{x_p-x_m}=\frac{-2F}{x_p} \Rightarrow y_m-y_p=\frac{2F}{x_p}(x_p-x_m)\)
Invullen in de cirkelvergelijking geeft dan niet de gevraagde uitdrukking! Dit omdat je door deze uitdrukking alleen iets met
\(x_p, x_m\)
kan omschrijven in iets met
\(y_p, y_m\)
Maar je zoekt juist een uitdrukking waarin
\(y_m\)
beschreven wordt in
\(x_p\)
. Of zie ik iets over het hoofd?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cirkel rakend aan parabool

Je hebt gelijk! Je moet x_m-x_p (uit de loodlijnverg) invullen in de cirkelverg, dan kan je daarna y_m-y_p daaruit bepalen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Cirkel rakend aan parabool

Stel de van de parabool gelijk aan de y van de cirkel. Je krijgt dan een kwadraitsche vergelijking in x.

Als je die oplost, moet er vanwege het raken precies één oplossing zijn.

Berichten: 244

Re: Cirkel rakend aan parabool

Dank u, hij komt uit :P .

Maar jammer genoeg lukt de vervolgvraag niet :D .

Hier wordt gevraagd te bewijzen dat als de cirkel op elk punt de parabool kan raken, dat voor de straal van de cirkel geldt:
\(r\leq 2F\)
Als enige hint wordt gegeven dat je de "radius of curvature" nodig hebt. Ik heb de radius of curvature bepaald voor de gegeven parabool:
\(R=2F(1+\frac{x^2}{4F^2})^{3/2}\)
en denk dat minstens een voorwaarde is, is dat op elk punt van de parabool de straal van de cirkel gelijk moet zijn aan deze radius of curvature. Maar de relatie met de brandpuntsafstand zie ik niet direct.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cirkel rakend aan parabool

Waar, denk je, is de straal van de cirkel het kleinst?

Berichten: 244

Re: Cirkel rakend aan parabool

Ik zie hem :D . Even checken of ik het goed zie. Als de cirkel (die raakt aan de parabool) aan de parabool wil raken, moet deze niet groter zijn dan de minimale waarde van de krommingsstraal van de parabool. Deze is in x=0 en is hier gelijk aan R=2F. Dus daarom moet
\(r\leq 2F\)
gelden. Intuitief voel ik dit wel aan, maar het is niet echt kwantitatief...... Is de voorwaarde die ik hierboven genoemd heb misschien ook in symbolen te bewijzen?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cirkel rakend aan parabool

Toch is het helemaal goed. Merk op dat R symmetrisch is in x (dwz x=-4 of x=4 levert dezelfde R). Dus bekijk alleen pos x, dan volgt dat R>=2F.

Berichten: 244

Re: Cirkel rakend aan parabool

Misschien hier verwant aan dit onderwerp:

Te bewijzen:
\(f(x)=x-x_m-\frac{rx}{\sqrt{x^2+4F^2}}\)
heeft precies één wortel indien
\(r \leq 2F \)
.

Ik dacht aan zoiets:
\(f(0)=-x_m\)
maar ook gaat f(x) naar oneindig als x naar oneindig gaat. Het bewijs is dan voltooid als je laat zien dat de afgeleide overal positief is.

Dus:
\(1-\frac{4F^2r}{(x^2+4F^2)^{3/2}} >0 \)
dat betekent dus
\(\frac{4F^2r}{(x^2+4F^2)^{3/2}}<1\)
en dit overal. Hoe laat ik dit zien?

Reageer