Springen naar inhoud

Cirkel rakend aan parabool


  • Log in om te kunnen reageren

#1

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2008 - 15:26

Gegeven een parabool: LaTeX (F de brandpuntafstand) met daarop een cirkel met middelpunt LaTeX en straal r die de parabool raakt in het punt LaTeX

Gevraagd is te bewijzen:

LaTeX waarbij LaTeX het raakpunt is van de cirkel met de parabool.

Ik kom hier niet zo goed uit, ik kom niet verder dan de vergelijking voor de parabool in te vullen en dan uit simpele geometrie af te leiden dat:

LaTeX , echter ik kan geen onafhankelijke vergelijking vinden om LaTeX te beschrijven. Ik gok dat de brandpuntsafstand F hiermee te maken heeft, maar ik zie deze relatie niet direct. Kan iemand me misschien verder op weg helpen?

Veranderd door flamey, 27 maart 2008 - 15:26


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 maart 2008 - 16:48

Gegeven een parabool: LaTeX

(F de brandpuntafstand) met daarop een cirkel met middelpunt LaTeX en straal r die de parabool raakt in het punt LaTeX

Deze zin met 'daarop ...', begrijp ik niet.
Is het de par met een cirkel die de par raakt of ...?

#3

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2008 - 17:30

Een tekening zal volgens mij wel verhelderend werken:

Geplaatste afbeelding

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 maart 2008 - 17:52

OK!
Je moet het gegeven 'raken' gebruiken, dus bepaal rico vd raaklijn in (x_p,y_p) aan de par. Bepaal de verg van de loodlijn hierop in (x_p,y_p) en gebruik het feit dat het punt (x_m,y_m) op deze loodlijn ligt. Bepaal hieruit y_m-y_p en vul dit in in je cirkelverg.
Succes.

Ik neem aan dat dit niet de enige opdracht is.

Veranderd door Safe, 27 maart 2008 - 17:57


#5

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2008 - 18:17

Vergelijking van de cirkel: LaTeX

De rico van de parabool in het punt LaTeX is gelijk aan: LaTeX en de rico van de loodlijn op de raaklijn in datzelfde punt is dus LaTeX . Tevens geldt dat het middelpunt van de cirkel op deze loodlijn ligt dus:

LaTeX Invullen in de cirkelvergelijking geeft dan niet de gevraagde uitdrukking! Dit omdat je door deze uitdrukking alleen iets met LaTeX kan omschrijven in iets met LaTeX Maar je zoekt juist een uitdrukking waarin LaTeX beschreven wordt in LaTeX . Of zie ik iets over het hoofd?

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 maart 2008 - 18:30

Je hebt gelijk! Je moet x_m-x_p (uit de loodlijnverg) invullen in de cirkelverg, dan kan je daarna y_m-y_p daaruit bepalen.

#7

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 27 maart 2008 - 19:11

Stel de van de parabool gelijk aan de y van de cirkel. Je krijgt dan een kwadraitsche vergelijking in x.
Als je die oplost, moet er vanwege het raken precies één oplossing zijn.

Veranderd door thermo1945, 27 maart 2008 - 19:12


#8

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2008 - 19:18

Dank u, hij komt uit :P.

Maar jammer genoeg lukt de vervolgvraag niet :D.

Hier wordt gevraagd te bewijzen dat als de cirkel op elk punt de parabool kan raken, dat voor de straal van de cirkel geldt:

LaTeX Als enige hint wordt gegeven dat je de "radius of curvature" nodig hebt. Ik heb de radius of curvature bepaald voor de gegeven parabool:

LaTeX en denk dat minstens een voorwaarde is, is dat op elk punt van de parabool de straal van de cirkel gelijk moet zijn aan deze radius of curvature. Maar de relatie met de brandpuntsafstand zie ik niet direct.

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 maart 2008 - 19:58

Waar, denk je, is de straal van de cirkel het kleinst?

#10

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2008 - 20:13

Ik zie hem :D. Even checken of ik het goed zie. Als de cirkel (die raakt aan de parabool) aan de parabool wil raken, moet deze niet groter zijn dan de minimale waarde van de krommingsstraal van de parabool. Deze is in x=0 en is hier gelijk aan R=2F. Dus daarom moet
LaTeX gelden. Intuitief voel ik dit wel aan, maar het is niet echt kwantitatief...... Is de voorwaarde die ik hierboven genoemd heb misschien ook in symbolen te bewijzen?

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 maart 2008 - 20:59

Toch is het helemaal goed. Merk op dat R symmetrisch is in x (dwz x=-4 of x=4 levert dezelfde R). Dus bekijk alleen pos x, dan volgt dat R>=2F.

#12

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2008 - 22:10

Misschien hier verwant aan dit onderwerp:

Te bewijzen: LaTeX heeft precies één wortel indien LaTeX .

Ik dacht aan zoiets: LaTeX maar ook gaat f(x) naar oneindig als x naar oneindig gaat. Het bewijs is dan voltooid als je laat zien dat de afgeleide overal positief is.

Dus: LaTeX

dat betekent dus LaTeX en dit overal. Hoe laat ik dit zien?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures