Springen naar inhoud

Eigenvectoren onafhankelijk?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 00:45

Er is een stelling in de Lineaire Algebra die zegt dat als LaTeX met LaTeX de verschillende complexe eigenwaarden van een n x n-matrix A zijn, dan zijn de bijbehorende eigenvectoren LaTeX in LaTeX complex-lineair onafhankelijk.
(Heeft deze stelling een naam? Heeft iemand een link naar het bewijs?)

Nu heb ik een matrix LaTeX

Ik krijg eigenwaarden LaTeX , LaTeX en LaTeX .
Als bijbehorende eigenvectoren levert mij dit
LaTeX , LaTeX en LaTeX
voor willekeurige LaTeX .
Echter, LaTeX en LaTeX zijn nu toch niet lineair onafhankelijk? Wat doe ik fout?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 00:53

Zijn je Griekse letters scalairen in :D of...? Want (i,0,1) en (-i,0,1) zijn bijvoorbeeld wel onafhankelijk...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 00:59

Mijn Griekse letter zijn inderdaad complex. Moet ik er nu zelf voor zorgen dat de vectoren onafhankelijk zijn door een geschikte keuze (zoals jouw voorbeeld)? Want slechts bij bepaalde keuzes zal aan de stelling voldaan zijn.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 01:05

Maar je verliest informatie door je eigenvectoren op deze manier te schrijven. Ik trek de tweede eigenwaarde (1+i) van de hoofddiagonaal af, je houdt over: ix+z = 0. Hieruit volgt toch niet dat elke willekeurige vector (p,0,q) met p en q complex, een eigenvector is? Wel alle scalaire veelvouden van (i,0,1), oftewel (ik,0,k).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 01:15

Dan vraag ik me af wat een goede methode is om de eigenvectoren te bepalen. Ik heb de drie eigenwaarden, en wil hieruit de eigenvectoren bepalen. Ik schrijf dan
LaTeX met LaTeX en los op voor a,b,c. Schrijf ik dan beter
LaTeX met LaTeX ?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 01:18

Met a,b,c complex levert het stelsel bij de eerste eigenwaarde: ai+c = 0 (zie m'n vorig bericht). Hieraan voldoet toch niet elk koppel (a,c) als a en c complex zijn, maar verder willekeurig? Neem bijvoorbeeld a = c = 1 en het loopt mis, nochtans impliceert "jouw eigenvector" (a,0,c) dat (1,0,1) een oplossing is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 01:24

Het is me inderdaad duidelijk dat mijn methode niet juist is. Maar dan hoor ik graag welke procedure jij voorstelt om bij de drie eigenwaarden de bijbehorende eigenvectoren te vinden?

Verborgen inhoud
bedankt voor het snelle antwoord op dit late uur :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 01:29

Wanneer je komt tot de voorwaarde ai+c=0 zou ik direct (i,0,1) schrijven, scalaire veelvouden hiervan zijn dan ook oplossingen. Als je dit niet direct ziet, of een algemenere methode wil, dan kan je elk complex getal inderdaad uitschrijven. Substitutie in de vergelijking waaraan je moet voldoen, levert dan de voorwaarden ("binding") tussen reŽel en complex deel.

Door je complexe eigenwaarde (en eigenvector) heb je inderdaad twee parameters, maar in jouw notatie heb je er eigenlijk vier! Want je alfa en beta zijn complexe getallen en liggen dus allebei pas vast met elk twee reŽle getallen. Je bent dus de "binding" vergeten die opgelegd wordt door de vergelijking waaraan je moet voldoen.

Dus: a = p+qi en c = r+si, dit levert: ai+c = 0 <=> ... <=> p = -s en q = r.
Ga zelf na dat mijn keuze ("op het zicht") van (i,0,1) hieraan voldoet, zie je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 01:33

Dank, hiermee kom ik zeker verder. Ik ga het morgen nog eens rustig utischrijven, volgens begrijp ik het nu. Volgens mij moet

q = b.

zijn: q=r, toch?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 01:34

Had ik net al aangepast, maar je was dus te snel komen kijken.

Graag gedaan, ook op dit late uur tegen nachttarief :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 01:37

Haha, nogmaals bedankt en welterusten!
Wat een gedoe om de "fundamentele matrix" behorend bij een differentiaalvergelijking dy/dx =Ay en vervolgens de stroming te berekenen :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2008 - 01:40

Ik kruip er inderdaad zo in (zei ik voor je topic eigenlijk ook al), dan weer enkele dagen weg.
Het was een blitsbezoek en ik wou zoveel mogelijk bijwerken; jou helpen hoort daar ook bij :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures