Bewijs

jan_alleman

dat

\(\sum_{j=0}^n{n \choose j}\frac{(j+n)!}{(j+1)!}(-1)^j=0\)

Ik denk dat die uitdrukking nul moet zijn, kan iemand dat verifieren ?

PeterPan

Dat klopt.

Je kunt die uitdrukking schrijven als

\(\sum_{-\infty}^{\infty} (-1)^j \left(\begin{array}{c}n \\j \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}n+j \\j+1 \end{array}\right) = 0\)

Om dit aan te kunnen tonen en de stappen te kunnen volgen moet je veel ervaring hebben in dit soort dingen. Ik heb veel van dit soort uitdrukkingen moeten oplossen bij natuurkundige problemen. Ik houd het heel kort.

\(x^n = \sum \left(\begin{array}{c}n \\j \end{array}\right) (x-1)^j\)

dan is

\(x^{n+1}(1-x)^{-n-2} = \sum (-1)^j \left(\begin{array}{c}n \\j \end{array}\right) x (1-x)^{-n-2+j}\)

Uitschrijven in machten van

\(x\)

. Als we de

\(n+1\)

-ste term vergelijken krijgen we

\(0 = \left(\begin{array}{c}n \\n+1 \end{array}\right) = \sum_{-\infty}^{\infty} (-1)^j \left(\begin{array}{c}n \\j \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}n+j \\j+1 \end{array}\right)\)

.

jan_alleman

Bedankt, maar ik twijfel of dan mijn werkwijze goed is.

Het "kan" niet zo 'moeilijk' zijn, daarmee bedoel ik die voor mij onbekende techniek. Het is eigenlijk om aan te tonen dat

\([\frac{1}{n!}\frac{1}{1+x}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^n(1-x)^n)]_0^1=0 \)

(1)

Wat ik dan wil doen is aantonen dat

\(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^n(1-x)^n)=0\)

voor x=1 en voor x=0.

Dus schrijf ik

\(x^n(1-x)^n=x^n\cdot \sum_{j=0}^n{n \choose j}(-x)^j=\sum_{j=0}^n{n \choose j}(-1)^j(x)^{j+n}\)

of nog

\(\frac{d^n}{dx^n}(x^n(1-x)^n)=\sum_{j=0}^n{n \choose j}\frac{(j+n)!}{(j+1)!}(-1)^jx^{j+1}\)

. Dus vandaar mijn "vermoeden".

Is er dan geen andere manier om (1) aan te tonen ?

jan_alleman

Waarom kan ik soms wel en soms niet een bericht wijzigen ?

Dat laatste moet

\(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^n(1-x)^n)\)

ipv

\(\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^n(1-x)^n)\)

PeterPan

Tsja, je geeft een ingewikkelde uitdrukking en zegt dan: "Toon aan dat er 0 uit komt".

Niemand weet dan hoe je tot die uitdrukking gekomen bent. Dat maakt het probleem een stuk lastiger.

\(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^n(1-x)^n)=0\)

voor

\(x=0\)

en voor

\(x=1\)

en dat is simpel!

Als je

\(h(x) = x^n(1-x)^n\)

differentieert gebruik je de productregel.

\(h'(x) = nx^{n-1}(1-x)^n - nx^n(1-x)^{n-1}\)

.

Weer differentieren geeft (2x productregel)

\(h''(x) = n(n-1)x^{n-2}(1-x)^n - n^2x^{n-1}(1-x)^{n-1} - n^2x^{n-1}(1-x)^{n-1} + n(n-1)x^n(1-x)^{n-2}\)

.

Je ziet misschien al dat

\(h^{(k)}(x) = \sum_{p+q=2n-k} c_{p,q}(k)x^{p}(1-x)^{q} \)

voor zekere constanten

\(c_{p,q}(k)\)

waarvan de werkelijke waarden niet belangrijk zijn.

Dit kun je met volledige inductie aantonen.

Dan is

\(h^{(n-1)}(x) = \sum_{p+q=n+1} c_{p,q}(n-1)x^{p}(1-x)^{q} \)

Merk op dat in elke term een factor

\(x\)

en een factor

\(1-x\)

zit.

Dus

\(x=0\)

invullen of

\(x=1\)

geeft de waarde 0.

jhnbk

Waarom kan ik soms wel en soms niet een bericht wijzigen ?

Er is een tijdslimiet aan gebonden

Klintersaas

Er is een tijdslimiet aan gebonden

... die hier te vinden is.

jan_alleman

PeterPan schreef:Tsja, je geeft een ingewikkelde uitdrukking en zegt dan: "Toon aan dat er 0 uit komt".

Niemand weet dan hoe je tot die uitdrukking gekomen bent. Dat maakt het probleem een stuk lastiger.

\(Dan is[tex]h^{(n-1)}(x) = \sum_{p+q=n+1} c_{p,q}(n-1)x^{p}(1-x)^{q} \)
Merk op dat in elke term een factor
\(x\)
en een factor
\(1-x\)
zit.

Dus
\(x=0\)
invullen of
\(x=1\)
geeft de waarde 0.

Wat als p =0 ?

PeterPan

Wat als p =0 ?

p kan niet 0 zijn, want dan zou q=n+1 zijn, en de macht van (1-x) kan hoogstens n zijn.

thermo1945

PeterPan schreef:Uitschrijven in machten van
\(x\)
. Als we de
\(n+1\)
-ste term vergelijken krijgen we

\(0 = \left(\begin{array}{c}n \\n+1 \end{array}\right) = \sum_{-\infty}^{\infty} (-1)^j \left(\begin{array}{c}n \\j \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}n+j \\j+1 \end{array}\right)\)
.

Is

\( \left(\begin{array}{c}n \\n+1 \end{array}\right)\)

wel gedefinieerd?

TD

Dat wordt per definitie 0 gesteld (elke combinatie van a uit b als a > b).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Bewijs

Bewijs

Re: Bewijs

Re: Bewijs

Re: Bewijs

Re: Bewijs

Re: Bewijs

Re: Bewijs

Re: Bewijs

Re: Bewijs

Re: Bewijs

Re: Bewijs