Springen naar inhoud

[wiskunde] inverteren van matrices


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:24

Ik heb even gezocht op het forum, ik dacht dat er wel iets te vinden was over het inverteren van matrices (misschien kijk ik er overheen). Ik vind dit een ontzettend vervelend werkje en vroeg mij af of er geen makkelijke snelle manier voor is om dit uit je hoofd te doen (zonder grafische rekenmachine of computers dus).

Nu moet ik bij een opdracht de stappen bijhouden die ik maak om uiteindelijk mijn matrix als product van elementaire matrices te kunnen schrijven. Dus hoe pak ik het "vegen" van een matrix zo gestructureerd mogelijk aan? Ik neem aan dat die term "vegen" meer wordt gebruikt, of is dat alleen bij ons zo?
Nothing to see here, move along...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:31

deze methode is meestal de snelste: http://nl.wikipedia....verse_te_vinden
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:31

Je zoekt dus een methode om de inverse matrix "met de hand" te bepalen? Ofwel kan dat door elementaire rijoperaties ("vegen") door (A|I) om te vormen naar (I|A^(-1)). Of, als je bekend bent met determinanten: A^(-1) = adj(A)/det(A) met adj(A) de geadjugeerde matrix en det(a) de determinant. Zie ook hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:33

Ik neem aan als er over een inverse matrix wordt gedoceerd dat er ook over determinanten is gesproken, of vergis ik mij?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#5

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:35

De vraag gaat toch over wat het snelste is? En twee methodes zijn bekend, rest nog steeds de vraag wat is het snelste?
Quitters never win and winners never quit.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:36

Met de hand? Dat hangt van de matrix zelf af (welke getallen, grootte,...), je handigheid met vegen/determinanten,...
Vanuit rekentechnisch oogpunt (voor een computerprogramma bijvoorbeeld), is een veegmethode efficiŽnter.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:39

Dit hangt af van de omvang.
Voor een nxn matrix heb je met vegen n rijen te doen met telkens voor elke element in deze rij (2n elementen) nullen te voorzien op n-1 rijen
2n≤(n-1) operaties zijn dus nodig.

Bij de andere methode moet je n≤ minoren uitrekenen, dit is telkens een determinant met orde n-1, dus (n-1)! keren maximaal op deze minor te vinden
n≤(n-1) operaties zijn dus nodig.

Dit kan er volledig naast zijn.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:42

Ik neem aan als er over een inverse matrix wordt gedoceerd dat er ook over determinanten is gesproken, of vergis ik mij?

Determinanten maken niet overal meer deel uit van de leerprogramma's (secundair onderwijs).
Wat er op hoger niveau gedoceerd wordt, staat daar natuurlijk los van.

2n≤(n-1) operaties zijn dus nodig.

n≤(n-1) operaties zijn dus nodig.

Dit lijkt me niet te kloppen, zo zou er slechts een constante factor 2 verschil zijn (in het voordeel van de determinanten dan nog...).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:43

Jammer, weeral meer studenten die dit onderwerp voor het eerste in het hoger onderwijs moeten zien.


De "veegmethode" is ook gemakkelijker te implementeren dan de andere


EDIT: @TD: ik ben de faculteit vergeten!
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#10

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:45

Ja determinanten zijn bekend, maar volgens mij wordt die methode met die geadjungeerde vrij lastig als je grotere matrices gaat behandelen. Bovendien moet ik het nu met behulp van elementaire rij operaties doen, zoals TD beschreef. Ik heb een 3x3 matrix dus het moet te doen zijn. Maar hoe pak je nou zo iets aan zonder veel te veel operaties uit te voeren, want ik verzijl nogal gouw in een overkill aan elementaire rij operaties en dan kom ik er niet meer uit.
Nothing to see here, move along...

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:46

EDIT: @TD: ik ben de faculteit vergeten!

Dat zou het al aannemelijker maken.
Voor wie zeker wil zijn, kan er een boek over numerieke lineaire algebra op naslaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:48

Bon, wat ik doe, is altijd er voor zorgen dat in de kolom van de spil (je wss wel bekend) altijd 1en komen te staan. Dit is de methode van Gauss. Dit is voor mij het snelste, en het veiligste: dwz minste kans op rekenfouten.

@TD: het is maar een snelle berekening. Ik heb echter niet zo'n geavanceerd lineaire algebra boek. De focus lag in onze richting bij het oplossen van stelsels.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#13

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:48

Maar hoe pak je nou zo iets aan zonder veel te veel operaties uit te voeren, want ik verzijl nogal gouw in een overkill aan elementaire rij operaties en dan kom ik er niet meer uit.

Door zo snel mogelijk pivots te maken en als je het vaak moet toepassen kan een LU decompositie helpen.

Edit: Johan was me voor.

Veranderd door dirkwb, 15 april 2008 - 19:49

Quitters never win and winners never quit.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 19:50

Ja determinanten zijn bekend, maar volgens mij wordt die methode met die geadjungeerde vrij lastig als je grotere matrices gaat behandelen. Bovendien moet ik het nu met behulp van elementaire rij operaties doen, zoals TD beschreef.

Voor grotere matrices wordt de methode met determinanten inderdaad omslachtiger en rekenintensiever.

Ik heb een 3x3 matrix dus het moet te doen zijn. Maar hoe pak je nou zo iets aan zonder veel te veel operaties uit te voeren, want ik verzijl nogal gouw in een overkill aan elementaire rij operaties en dan kom ik er niet meer uit.

Je kan die rijoperaties heel systematisch doen, zoals een computerprogramma het vegen zou doen. Soms kan je echter handig gebruik maken van de bijzondere vorm van de matrix: afhankelijk van wat de elementen zijn kan je soms snel meer nullen maken, of kan het soms interessant zijn om een rij te gebruiken voordat je deelt door de leidende coŽfficiŽnt (om de 1 als spil te vormen, zoals jhnbk zei).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2008 - 20:14

Als het je nuttig lijkt, zou je een voorbeeld van zo'n 3x3-matrix kunnen geven en aangeven welke stappen jij zou nemen. Op zich is het 'vegen' dom rekenwerk, het zijn in ieder geval op zichzelf erg elementaire berekeningen. Wel kan het soms veel tijd kosten; daarom zul je i.h.a. niet grotere dan 3x3- of 4x4 matrices met de hand te hoeven inverteren. (Want wat zou het nou voor nut hebben om een 9x9-matrix met de hand te inverteren? Daar hebben we computers voor.)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures