Springen naar inhoud

Elektrodynamische Lagrangiaan


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2008 - 11:12

Even een kort vraagje wat betreft vormen. ( Ik heb het topic hier maar neergezet, als-ie verhuisd moet worden vind ik het best ). De Lagrangiaanse dichtheid voor het vrije electrodynamische veld is

LaTeX

Ik begrijp ook dat je een Lagrangiaan in n dimensies met volume vorm LaTeX als een n-vorm L kunt opvatten
via

LaTeX

Maar waarom mag je deze Lagrangiaan dan ook schrijven via het duale veld van F als

LaTeX

?

Die duale van F wordt via haar componenten gedefinieerd als

LaTeX

Kan iemand hier wat duidelijkheid in brengen ? Ik zie geen contractie in dat uitwendig product verschijnen tussen de twee F-velden.

Veranderd door Rudeoffline, 16 april 2008 - 11:15


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2008 - 12:24

Volgens mij heb ik het antwoord al gevonden; je trekt een epsilon-tensor uit je volumeform en gebruikt dan wat identiteiten wat je deltafuncties oplevert die de contractie tussen je twee F-vormen bewerkstelligt.

#3

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 14:43

Om praktisch de hodge-duale uit te rekenen is het misschien niet zo'n makkelijke formule, maar deze definitie [Baez en Munian, Gauge fields, knots and gravity] is in dit geval uitermate handig: zij A en B 2 p-vormen, dan is een definierende eigenschap van de hodge-duale van B, *B:
LaTeX waar vol de volumevorm geassocieerd aan de metriek is, en <,> het inwendige product is.
Dan wordt het bewijs doodeenvoudig (ik raak altijd verward als ik componenten moet beginnen tellen, maar misschien is dat een persoonlijk defect).

#4

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2008 - 14:56

Om praktisch de hodge-duale uit te rekenen is het misschien niet zo'n makkelijke formule, maar deze definitie [Baez en Munian, Gauge fields, knots and gravity] is in dit geval uitermate handig: zij A en B 2 p-vormen, dan is een definierende eigenschap van de hodge-duale van B, *B:
LaTeX

waar vol de volumevorm geassocieerd aan de metriek is, en <,> het inwendige product is.
Dan wordt het bewijs doodeenvoudig (ik raak altijd verward als ik componenten moet beginnen tellen, maar misschien is dat een persoonlijk defect).


Ja, dat klopt, die kende ik al, maar je kunt het ook vanuit de definitie van de Hodge-dual en het uitwendig product halen. Maar dan is dat in ieder geval duidelijk. Waar ik eigenlijk naar toe wil is het volgende. Je kunt de variatie van de Lagrangiaan L altijd schrijven als
LaTeX
Hier zijn E je beweginsvergelijkingen van je velden LaTeX , waarbij de stip contracties aangeven tussen de bewegingsvergelijkingen en je velden. LaTeX is je grensterm. Als ik nu een Killing vector veld LaTeX
introduceer, dan kan ik aantonen dat er een Noetherstroom LaTeX is die gedefinieerd is als
LaTeX
en waarvoor geldt
LaTeX
waarbij de variatie in je veld een Lie-afgeleide is. We beschouwen de coordinatentransformaties, geinduceerd door Lie-afgeleides, als ijktransformaties omdat de actie invariant is onder deze transformaties. Dit verhaal wil ik dus toepassen op die Lagrangiaan die ik gaf, alleen kom ik niet op de goeie termen uit. Ik ben geinteresseerd in de vectorpotentiaal A. Ik krijg
LaTeX

Ik weet niet in hoeverre je in dergelijke zaken zit, maar heb je dit soort berekeningen eerder gezien?

#5

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 17:04

heb je dit soort berekeningen eerder gezien?

Helaas. :D Ik kan me er wel iets bij voorstellen trouwens. Heb je dergelijke berekeningen bij eenvoudiger lagrangianen in volumevorm gedaan?

#6

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2008 - 09:06

Helaas. :D Ik kan me er wel iets bij voorstellen trouwens. Heb je dergelijke berekeningen bij eenvoudiger lagrangianen in volumevorm gedaan?


Ja, dat wel; daar kom ik prima uit. Ik heb trouwens gister ( aan de bar :') ) even het berekeningetje doorgelopen, en volgens mij ben ik er nu wel uit. Mocht je ge´nteresseerd zijn, de uitkomst die ik kreeg was

LaTeX

'k Vind het denk ik nog wat lastig soms in te zien hoe je dergelijke zaken in termen van vormen uitdrukt. Die eerste term zijn je randtermen, de tweede term zijn je bewegingsvergelijkingen, en de resterende 2 termen zijn dan de termen die later in je energie-impuls tensor terecht komen en je metriek behelsen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures