Elektrodynamische Lagrangiaan

Moderator: physicalattraction

Reageer
Berichten: 624

Elektrodynamische Lagrangiaan

Even een kort vraagje wat betreft vormen. ( Ik heb het topic hier maar neergezet, als-ie verhuisd moet worden vind ik het best ). De Lagrangiaanse dichtheid voor het vrije electrodynamische veld is
\(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)
Ik begrijp ook dat je een Lagrangiaan in n dimensies met volume vorm
\(\epsilon\)
als een n-vorm L kunt opvatten

via
\(L = \mathcal{L}\epsilon\)
Maar waarom mag je deze Lagrangiaan dan ook schrijven via het duale veld van F als
\(L = -\frac{1}{2}F \wedge *F\)
?

Die duale van F wordt via haar componenten gedefinieerd als
\((*F)_{\rho\sigma} \equiv \frac{1}{2}F^{\mu\nu}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\)
Kan iemand hier wat duidelijkheid in brengen ? Ik zie geen contractie in dat uitwendig product verschijnen tussen de twee F-velden.

Berichten: 624

Re: Elektrodynamische Lagrangiaan

Volgens mij heb ik het antwoord al gevonden; je trekt een epsilon-tensor uit je volumeform en gebruikt dan wat identiteiten wat je deltafuncties oplevert die de contractie tussen je twee F-vormen bewerkstelligt.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Elektrodynamische Lagrangiaan

Om praktisch de hodge-duale uit te rekenen is het misschien niet zo'n makkelijke formule, maar deze definitie [Baez en Munian, Gauge fields, knots and gravity] is in dit geval uitermate handig: zij A en B 2 p-vormen, dan is een definierende eigenschap van de hodge-duale van B, *B:
\(A\wedge *B=<A,B> vol\)
waar vol de volumevorm geassocieerd aan de metriek is, en <,> het inwendige product is.

Dan wordt het bewijs doodeenvoudig (ik raak altijd verward als ik componenten moet beginnen tellen, maar misschien is dat een persoonlijk defect).

Berichten: 624

Re: Elektrodynamische Lagrangiaan

eendavid schreef:Om praktisch de hodge-duale uit te rekenen is het misschien niet zo'n makkelijke formule, maar deze definitie [Baez en Munian, Gauge fields, knots and gravity] is in dit geval uitermate handig: zij A en B 2 p-vormen, dan is een definierende eigenschap van de hodge-duale van B, *B:
\(A\wedge *B=<A,B> vol\)
waar vol de volumevorm geassocieerd aan de metriek is, en <,> het inwendige product is.

Dan wordt het bewijs doodeenvoudig (ik raak altijd verward als ik componenten moet beginnen tellen, maar misschien is dat een persoonlijk defect).


Ja, dat klopt, die kende ik al, maar je kunt het ook vanuit de definitie van de Hodge-dual en het uitwendig product halen. Maar dan is dat in ieder geval duidelijk. Waar ik eigenlijk naar toe wil is het volgende. Je kunt de variatie van de Lagrangiaan L altijd schrijven als
\(\delta L = E \cdot\delta\phi + d\Theta\)
Hier zijn E je beweginsvergelijkingen van je velden
\(\phi\)
, waarbij de stip contracties aangeven tussen de bewegingsvergelijkingen en je velden.
\(\Theta\)
is je grensterm. Als ik nu een Killing vector veld
\(\xi\)
introduceer, dan kan ik aantonen dat er een Noetherstroom
\(\mathcal{J}\)
is die gedefinieerd is als
\(\mathcal{J} \equiv \Theta -\xi\cdot L\)
en waarvoor geldt
\(d\mathcal{J} = - E\delta\phi\)
waarbij de variatie in je veld een Lie-afgeleide is. We beschouwen de coordinatentransformaties, geinduceerd door Lie-afgeleides, als ijktransformaties omdat de actie invariant is onder deze transformaties. Dit verhaal wil ik dus toepassen op die Lagrangiaan die ik gaf, alleen kom ik niet op de goeie termen uit. Ik ben geinteresseerd in de vectorpotentiaal A. Ik krijg
\(\delta L = -\frac{1}{2}[d(\delta A \wedge *F) + \delta A \wedge d*F + F \wedge *d \delta A]\)


Ik weet niet in hoeverre je in dergelijke zaken zit, maar heb je dit soort berekeningen eerder gezien?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Elektrodynamische Lagrangiaan

heb je dit soort berekeningen eerder gezien?
Helaas. :D Ik kan me er wel iets bij voorstellen trouwens. Heb je dergelijke berekeningen bij eenvoudiger lagrangianen in volumevorm gedaan?

Berichten: 624

Re: Elektrodynamische Lagrangiaan

Helaas. :D Ik kan me er wel iets bij voorstellen trouwens. Heb je dergelijke berekeningen bij eenvoudiger lagrangianen in volumevorm gedaan?
Ja, dat wel; daar kom ik prima uit. Ik heb trouwens gister ( aan de bar :') ) even het berekeningetje doorgelopen, en volgens mij ben ik er nu wel uit. Mocht je geïnteresseerd zijn, de uitkomst die ik kreeg was
\(\delta(F\wedge *F) = d(\delta A \wedge *F) + \delta A \wedge d*F + F \wedge *delta F + \frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\delta g_{\alpha\beta}F\wedge *F\)
'k Vind het denk ik nog wat lastig soms in te zien hoe je dergelijke zaken in termen van vormen uitdrukt. Die eerste term zijn je randtermen, de tweede term zijn je bewegingsvergelijkingen, en de resterende 2 termen zijn dan de termen die later in je energie-impuls tensor terecht komen en je metriek behelsen.

Reageer