Springen naar inhoud

[wiskunde] eigenruimtes en eigenwaardes


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2008 - 11:27

Alweer een vraag over lineaire algebra.
Ik begrijp de eigenruimtes niet. In de definitie staat: LaTeX

Dat lees ik als: De eigenruimte E wordt opgespannen door de vectoren v waarvoor geld dat Tv=λv. Dus opgespannen door de eigenvectoren behorende bij eigenwaarde λ. Maar bij elke eigenwaarde hoort toch maar 1 eigenvector, dan zou de ruimte altijd opgespannen zijn door maar 1 vector.
Het is dus duidelijk dat ik hier iets niet begrijp.
Nothing to see here, move along...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 april 2008 - 11:52

Als de eigenwaardes meervoudig zijn, dan zijn er meerdere eigenvectoren bij een eigenwaarde.
Quitters never win and winners never quit.

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 april 2008 - 11:54

Maar bij elke eigenwaarde hoort toch maar 1 eigenvector?


Nee, bij elke eigenwaarde kunnen meerde onafhankelijke eigenvectoren horen.
Wat is denk je de dimensie van de eigenruimte (ruimte opgespannen door de eigenvectoren) bij eigenwaarde 1 van de identieke nxn matrix?

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 12:00

Overigens zit de nulvector ook altijd in de eigenruimte (maar het is geen eigenvector).
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 12:28

Overigens zit de nulvector ook altijd in de eigenruimte (maar het is geen eigenvector).

Dat is maar een kwestie van definitie natuurlijk, want het voldoet wel aan Ax=λx. Je zou het de "triviale eigenvector" kunnen noemen. Je bent er niet veel mee, vandaar dat men meestal enkel x :D 0 met Ax=λx definieert als een eigenvector.

Jeroen: om verder te gaan op de voorgaande antwoorden: heb je al gehoord van meetkundige en/of algebraïsche multipliciteit? Zoals reeds gezegd is het dus mogelijk om bij een zekere eigenwaarde, verschillende (lineair onafhankelijke) eigenvectoren te hebben. Als je er zo k hebt, dan is de bijbehorende eigenruimte k-dimensionaal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2008 - 12:45

multipliciteit wil toch zeggen dat ik bijvoorbeeld 3 eigenwaardes heb waarvan er bijvoorbeeld 2 hetzelfde zijn, toch?
Nothing to see here, move along...

#7

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2008 - 12:54

Even iets om mee te werken.

Ik heb de matrix: LaTeX

Daarbij hoort de karakteristieke polynoom: LaTeX
Deze heeft dus 2 nulpunten, wat dus de eigenwaardes zijn: 1 en 2, maar 1 komt twee keer voor.
Hierbij vind ik als eigenvectoren: LaTeX en LaTeX .

Blijkbaar kan ik nu dus twee eigenruimtes maken, maar hoe doe ik dat dan met maar twee eigenvectoren?
Nothing to see here, move along...

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 14:29

multipliciteit wil toch zeggen dat ik bijvoorbeeld 3 eigenwaardes heb waarvan er bijvoorbeeld 2 hetzelfde zijn, toch?

Dat is de algebraïsche multipliceit. Als je karakteristieke vergelijking van een 6x6-matrix de volgende is:

(λ-1)²(λ-3)³(λ+2) = 0

Dan is λ=-2 een "enkelvoudige eigenwaarde" (= algebraïsche multipliceit 1) en zijn λ=1 en λ=3 "meervoudige eigenwaarden", met algebraïsche multipliceit respectievelijk 2 en 3.
Bij eigenwaarden met een algebraïsche multipliceit k kan je ten hoogste k lineair onafhankelijke eigenvectoren vinden, het kunnen er ook minder zijn. Het aantal lineair onafhankelijke eigenvectoren, is de meetkundige multipliciteit. Dat is dan ook direct de dimensie van de bijbehorende eigenruimte, zie je?

Over je vraag ivm de gegeven matrix:
- de eigenwaarde x = 2 heeft algebraïsche multipliciteit 1. Er is één eigenvector, dus ook meetkundige multipliciteit 1. De eigenruimte bevat dus één lineair onafhankelijke vector, de dimensie is 1.
- de eigenwaarde x = 1 heeft algebraïsche multipliciteit 2. Er is maar één lineair onafhankelijke eigenvector, dus ook meetkundige multipliciteit 1. Dit had 2 kunnen zijn, als er nog een lineair onafhankelijke eigenvector was. De eigenruimte bevat dus ook maar één lineair onafhankelijke vector, de dimensie is eveneens 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 17:28

@Wiskunde: ik heb jouw vraag naar hier afgesplitst.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures