Springen naar inhoud

Cauchyrij


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 14:15

Beschouw de ruimte van continue functie van [-1,1] naar LaTeX voorzien van de norm LaTeX .

Nu moet ik aantonen dat de rij functies {fn} een Cauchy-rij is t.o.v. de norm, waarbij fn gegeven wordt door LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX .

Ik heb de functie geschetst, en zie wat er gebeurt als ik n steeds groter neem. Echter, ik heb geen idee hoe ik kan aantonen dat het een Cauchyrij is. Dus, aan te tonen:

Voor elke LaTeX bestaat er een LaTeX , zodat voor alle LaTeX geldt: LaTeX
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 14:57

Je moet de norm van het verschil nemen, dus |f_n-f_m|. Zonder verlies van algemeenheid kan je m>n nemen, dan heb je de intervallen [-1,-1/n], [-1/n,-1/m], [-1/m,1/m], [1/m,1/n], [1/n,1] die ik nummer van 1 tot 5.
Op intervallen 1 en 5 vallen de functiewaarden samen en is het verschil (en dus ook de integraal) 0. Op de andere intervallen heb je respectievelijk nx+1, (n-m)x en nx-1.
Werk eventueel uit en merk op dat je het geheel willekeurig klein krijgt door n,m voldoende groot te kiezen. In de limiet voor n,m naar oneindig gaan alle termen naar 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 15:34

Je moet de norm van het verschil nemen, dus |f_n-f_m|.

Ja, sorry, dat was verkeerd getypt. Op mijn blaadje stond het juist :D

Op de andere intervallen heb je respectievelijk nx+1, (n-m)x en nx-1.

Die 3 integralen moet ik even uitwerken, hopelijk kom ik hierop uit.

Werk eventueel uit en merk op dat je het geheel willekeurig klein krijgt door n,m voldoende groot te kiezen.

De totale bijdrage is dus nx+1+nx-1+nx-mx=(3n-m)x. Ik zie nog niet helemaal in hoe ik dit willekeurig klein kan kiezen. Deze x kan natuurlijk maximaal 1 zijn, toch? Dus 3n-m moet ik willekeurig klein kunnen kiezen. Dit lukt voor iedere m>3n? De grote N doet er dan helemaal niet toe; neem n=1 en m=4...

In de limiet voor n,m naar oneindig gaan alle termen naar 0.

Hoe zie je dat? Dit is overigens equivalent met de uitspraak dat de rij {f_n} convergeert, toch? (niet nodig voor Cauchyrij)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 15:40

"Op de andere intervallen heb je respectievelijk nx+1, (n-m)x en nx-1."

Dit zijn de functiewaarden op die intervallen, die moet je natuurlijk nog integreren!
Het is het resultaat van de integraal dat je kan kleinpraten, niet de functiewaarden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 15:45

Aha, een beetje dom van me. Maar jij kunt daaraan direct zien dat het resultaat van de integraal klein te praten is, zonder het daadwerkelijk uit te werken?
Je schreef namelijk

Werk eventueel uit

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 15:48

Aanvulling ter verduidelijking van die functiewaarden, met opsplitsing van het interval (m>n):

LaTeX

Als je het niet "ziet" (of als je het formeel wil uitwerken), moet je nu integreren op die intervallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 16:03

Ja, de functiewaarden zijn me nu duidelijk. Dus de drie integralen uitrekenen:
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Dit vind ik altijd zo lastig. Door de absolute waarden moet je weer onderscheid maken tussen x- en n,m-waarden zodat de integrand postief dan wel negatief wordt...
Alhoewel het bij de eerste meevalt, omdat je de absolute waarden volgens mij kunt laten vallen (als x=-1/n dan staat er |0| en x neemt alleen nog toe). Dus dat levert LaTeX .

En voor de laatste integraal krijg je altijd negatieve waarden in de absolute waarden, dus
LaTeX
en de derde integraal
LaTeX

In totaal hebben we dus LaTeX .

Dat ziet er goed uit :D Klopt dit?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2008 - 16:10

Je vindt op de intervallen 2 en 4 inderdaad hetzelfde (dat had je uit symmetrieoverwegingen kunnen beredeneren; de oppervlakte tussen de functies is er gelijk natuurlijk). Zoals je ziet kan je hier elke term willekeurig klein krijgen door n en m voldoende groot te kiezen. Dat zal ook het geval zijn op het middelste interval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures