Cauchyrij

Phys

Beschouw de ruimte van continue functie van [-1,1] naar

\(\rr\)

voorzien van de norm

\(||f||_1=\int_{-1}^1|f(x)|dx\)

.

Nu moet ik aantonen dat de rij functies {f_n} een Cauchy-rij is t.o.v. de norm, waarbij f_n gegeven wordt door

\(f_n(x)=\)

\(-1\mbox{ als } -1\leq x\leq -\frac{1}{n}\)

\(nx\mbox{ als } -\frac{1}{n}\leq x\leq \frac{1}{n}\)

\(1\mbox{ als } \frac{1}{n}\leq x\leq 1\)

.

Ik heb de functie geschetst, en zie wat er gebeurt als ik n steeds groter neem. Echter, ik heb geen idee hoe ik kan aantonen dat het een Cauchyrij is. Dus, aan te tonen:

Voor elke

\(\epsilon>0\)

bestaat er een

\(N\)

, zodat voor alle

\(n,m>N\)

geldt:

\(\int_{-1}^1 |f_n(x)|-|f_m(x)|dx<\epsilon\)

TD

Je moet de norm van het verschil nemen, dus |f_n-f_m|. Zonder verlies van algemeenheid kan je m>n nemen, dan heb je de intervallen [-1,-1/n], [-1/n,-1/m], [-1/m,1/m], [1/m,1/n], [1/n,1] die ik nummer van 1 tot 5.

Op intervallen 1 en 5 vallen de functiewaarden samen en is het verschil (en dus ook de integraal) 0. Op de andere intervallen heb je respectievelijk nx+1, (n-m)x en nx-1.

Werk eventueel uit en merk op dat je het geheel willekeurig klein krijgt door n,m voldoende groot te kiezen. In de limiet voor n,m naar oneindig gaan alle termen naar 0.

Phys

Je moet de norm van het verschil nemen, dus |f_n-f_m|.

Ja, sorry, dat was verkeerd getypt. Op mijn blaadje stond het juist

Op de andere intervallen heb je respectievelijk nx+1, (n-m)x en nx-1.

Die 3 integralen moet ik even uitwerken, hopelijk kom ik hierop uit.

Werk eventueel uit en merk op dat je het geheel willekeurig klein krijgt door n,m voldoende groot te kiezen.

De totale bijdrage is dus nx+1+nx-1+nx-mx=(3n-m)x. Ik zie nog niet helemaal in hoe ik dit willekeurig klein kan kiezen. Deze x kan natuurlijk maximaal 1 zijn, toch? Dus 3n-m moet ik willekeurig klein kunnen kiezen. Dit lukt voor iedere m>3n? De grote N doet er dan helemaal niet toe; neem n=1 en m=4...

In de limiet voor n,m naar oneindig gaan alle termen naar 0.

Hoe zie je dat? Dit is overigens equivalent met de uitspraak dat de rij {f_n} convergeert, toch? (niet nodig voor Cauchyrij)

TD

"Op de andere intervallen heb je respectievelijk nx+1, (n-m)x en nx-1."

Dit zijn de functiewaarden op die intervallen, die moet je natuurlijk nog integreren!

Het is het resultaat van de integraal dat je kan kleinpraten, niet de functiewaarden.

Phys

Aha, een beetje dom van me. Maar jij kunt daaraan direct zien dat het resultaat van de integraal klein te praten is, zonder het daadwerkelijk uit te werken?

Je schreef namelijk

Werk eventueel uit

TD

Aanvulling ter verduidelijking van die functiewaarden, met opsplitsing van het interval (m>n):

\(\begin{array}{*{20}c} {} &\vline & { - 1} & {} & { - \frac{1}{n}} & {} & { - \frac{1}{m}} & {} & {\frac{1}{m}} & {} & {\frac{1}{n}} & {} & 1 \\ \hline {f_n } &\vline & {} & { - 1} & {} & {nx} & {} & {nx} & {} & {nx} & {} & 1 & {} \\ {f_m } &\vline & {} & { - 1} & {} & { - 1} & {} & {mx} & {} & 1 & {} & 1 & {} \\\hline {f_n - f_m } &\vline & {} & 0 & {} & {nx + 1} & {} & {\left( {n - m} \right)x} & {} & {nx - 1} & {} & 0 & {} \\\end{array}\)

Als je het niet "ziet" (of als je het formeel wil uitwerken), moet je nu integreren op die intervallen.

Phys

Ja, de functiewaarden zijn me nu duidelijk. Dus de drie integralen uitrekenen:

\(\int_{-\frac{1}{n}}^{-\frac{1}{m}}|nx+1|dx\)

\(\int_{-\frac{1}{m}}^{\frac{1}{m}}|(n-m)x|dx\)

\(\int_{\frac{1}{m}}^{\frac{1}{m}}|nx-1|dx\)

Dit vind ik altijd zo lastig. Door de absolute waarden moet je weer onderscheid maken tussen x- en n,m-waarden zodat de integrand postief dan wel negatief wordt...

Alhoewel het bij de eerste meevalt, omdat je de absolute waarden volgens mij kunt laten vallen (als x=-1/n dan staat er |0| en x neemt alleen nog toe). Dus dat levert

\(\int_{-\frac{1}{n}}^{-\frac{1}{m}}|nx+1|dx=\frac{1}{2n}+\frac{1}{m}(\frac{n}{2m}-1)\)

.

En voor de laatste integraal krijg je altijd negatieve waarden in de absolute waarden, dus

\(\int_{\frac{1}{m}}^{\frac{1}{m}}|nx-1|dx=\int_{\frac{1}{m}}^{\frac{1}{m}}1-nxdx=\frac{1}{2n}+\frac{1}{m}(\frac{n}{2m}-1)\)

en de derde integraal

\(\int_{-\frac{1}{m}}^{\frac{1}{m}}|(n-m)x|dx=\int_{-\frac{1}{m}}^0 (n-m)x dx+\int_0^{\frac{1}{m}}(m-n)xdx=...=\frac{m-n}{m^2}\)

In totaal hebben we dus

\(d(f_n,f_m)=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\left(\frac{n}{m}-2+\frac{m-n}{m}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\)

.

Dat ziet er goed uit

Klopt dit?

TD

Je vindt op de intervallen 2 en 4 inderdaad hetzelfde (dat had je uit symmetrieoverwegingen kunnen beredeneren; de oppervlakte tussen de functies is er gelijk natuurlijk). Zoals je ziet kan je hier elke term willekeurig klein krijgen door n en m voldoende groot te kiezen. Dat zal ook het geval zijn op het middelste interval.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Cauchyrij

Cauchyrij

Re: Cauchyrij

Re: Cauchyrij

Re: Cauchyrij

Re: Cauchyrij

Re: Cauchyrij

Re: Cauchyrij

Re: Cauchyrij