Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijs convergentie rij


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 april 2008 - 20:09

2.PNG

(a): IntuÔtief klopt het wel, maar ik zie niet in hoe ik dat moet bewijzen. Moet ik de definitie van convergentie gebruiken?

Veranderd door dirkwb, 17 april 2008 - 20:09

Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 april 2008 - 22:45

Opdat x de limiet van een rij x(n) kan zijn, moet x een ophopingspunt zijn van de verzameling van alle x(i). Stel dat bijvoorbeeld x>b de limiet zou zijn, dan is er een e-omgeving van x die geen enkele x(i) bevat, x is dus geen ophopingspunt en kan bijgevolg onmogelijk de limiet van x(n) zijn.

Voor b: neem een rij met startwaarde tussen a en b, monotoon (strikt) stijgend en convergerend naar b. Dan is de limiet b, terwijl geen van de x(i)'s de waarde b aanneemt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2008 - 23:03

Of

a) limieten behouden ongelijkheid (is een stellingkje)

b) neem hier x_n=2-1/n , dan is lim x_n=2 terwijl voor alle x_n er geldt dat ...

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 april 2008 - 12:07

a) limieten behouden ongelijkheid (is een stellingkje)

Kun je iets duidelijker zijn over die stelling?
Bij (b) staan er ook ongelijkheden, die worden niet behouden...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 april 2008 - 22:06

Opdat x de limiet van een rij x(n) kan zijn, moet x een ophopingspunt zijn van de verzameling van alle x(i).

Het probleem is dat in de paragraaf alleen de epsilon-definitie voor de limiet staat en ik weet dus niet hoe deze uitspraak kan ondersteunen.

1.PNG

Stel dat bijvoorbeeld x>b de limiet zou zijn, dan is er een e-omgeving van x die geen enkele x(i) bevat, x is dus geen ophopingspunt en kan bijgevolg onmogelijk de limiet van x(n) zijn.

Wat is eigenlijk een ophopingspunt?

b) neem hier x_n=2-1/n , dan is lim x_n=2 terwijl voor alle x_n er geldt dat ...

Dit voorbeeld had ik ook in gedachten. :D
Quitters never win and winners never quit.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 april 2008 - 23:01

Het probleem is dat in de paragraaf alleen de epsilon-definitie voor de limiet staat en ik weet dus niet hoe deze uitspraak kan ondersteunen.

Geen probleem. Stel dat elke a :P x(n) :P b voor elke n, we tonen dan dat het niet mogelijk is dat de limiet x niet voldoet aan a :D x :D b. Stel (zonder verlies van algemeenheid) dat x>b, neem dan ε :P x-b. Hiervoor vind je geen enkele N zodat |x(n)-x|<e van zodra n>N. Het geval x<a geldt mutatis mutandis uiteraard ook...

Wat is eigenlijk een ophopingspunt?

Een punt x is een ophopingspunt van een verzameling V, als x willekeurig dicht benaderd kan worden door elementen uit V. Equivalent: als er een rijtje binnen V bestaat dat convergeert naar x.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 april 2008 - 09:26

Ik snap het, bedankt!
Quitters never win and winners never quit.

#8

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 april 2008 - 09:41

Kun je iets duidelijker zijn over die stelling?

Die stelling geldt zeker voor LaTeX , dat bedoelde ik eigenlijk. In mijn cursus beschouwen we 2 rijen x_n en y_n met voor alle n x_n =< y_n dan is lim x_n =< lim y_n

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 april 2008 - 13:28

Ik snap het, bedankt!

Graag gedaan!

Die stelling geldt zeker voor LaTeX

, dat bedoelde ik eigenlijk. In mijn cursus beschouwen we 2 rijen x_n en y_n met voor alle n x_n =< y_n dan is lim x_n =< lim y_n

En geldt alleen daarvoor, zoals uit deze topic blijkt!
Vandaar dat het wel belangrijk is dat te onthouden :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures