[Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

cliin

Ik heb komende vrijdag Praktische Opdracht van wiskunde. De opdrachten gaan over differentiaal vergelijkingen. Nu had ik een vraag kan iemand me alsjeblieft uitleggen wat dit percies is, want de uitleg op wikkepedia snap ik niet helemaal

En zou iemand me ook willen uitleggen hoe je dan een opdracht moet maken over differentiaal vergelijkingen? Weet verder iemand ook nog een site waar ik met dit soort opgaves kan oefenen of weet iemand een oefenopdracht?

TD

Ik zal een korte intro geven, daarna kan je vragen stellen.

Weet je wat "gewone" vergelijkingen zijn? Bijvoorbeeld:

x²-2x+1 = 0

Dit is een vergelijking in de onbekende x, waarin x een reëel getal is. Je kan deze vergelijking oplossen, dat wil zeggen: alle mogelijke waarden van x zoeken waarvoor de gelijkheid geldt. Je kan zelf nagaan dat in dit geval x = 1 de enige oplossing is.

Differentiaalvergelijkingen zijn ook vergelijkingen, maar nu is de onbekende geen reëel getal meer. De onbekende is nu een functie en in de vergelijking kan ook de afgeleide en/of hogere afgeleiden van de functie voorkomen. Als ik y zie als functie van x, dus y = f(x), en y' noteer voor de eerste afgeleide van y naar x (dus y' = dy/dx), dan kan zo'n vergelijking er als volgt uit zien:

y' = y

Deze vergelijking stelt dus dat de afgeleide van een functie gelijk is aan de functie zelf. Ga zelf na dat de exponentiële functie y = e^x hieraan voldoet. Algemeen betekent het oplossen van een differentiaalvergelijking dat je alle functies zoekt waarvoor de gelijkheid geldt.

Phys

Even voor de zekerheid: hebben jullie differentiëren/afgeleiden al behandeld? Want zo nee, dan lijkt me dit onmogelijk te begrijpen. Maar ja, anders zullen jullie geen opdrachten erover krijgen.

cliin

ik heb al gehad wat vergelijkingen zijn en ik heb ook al geleerd hoe je moet differentieren en moet primitieveren.

Maar wat ik dus niet snap is dat de y'=y de afgeleide van y is toch altijd een ander getal dan y zelf of snap ik dat verkeerd. bij bijvoorbeel x² is de afgeleide toch 2x. Dan kan de afgeleide toch nooit bij alle waardes van x hetzelfde als y zijn? Of draait het juist daarom, om die waardes te bereken waar de afgeleide dezelfde waarde heeft als y:-s

oh ik weet trouwens wel niet zeker hoe ik e^x moet differentieren, is dit gewoon xe^x-1?

Phys

Als je de afgeleide van e^x niet kent, dan lijkt me het onderwerp differentiaalvergelijkingen eerlijk gezegd te hoog gegrepen (sterker nog, je zult dit al moeten weten voor je aan integreren begint). Maar laten we een poging doen.

Je zegt zelf al dat de afgeleide van y=x^2 gelijk is aan 2x. Dus stel je hebt de differentiaalvergelijking

\(\frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x}\)

dan zie je dat

\(y(x)=x^2\)

aan die differentiaalvergelijking voldoet. Immers, als y=x^2 dan is dy/dx=2x. Als y=x^2 is 2y/x=2x. Conclusie: dy/dx=2y/x voor y=x^2.

Dit geldt voor alle x, zie je dat?

Inderdaad geldt x^2=2x helemaal niet voor alle x. y=x^2 is dan ook zeker geen oplossing van y'=y! Slechts specifieke functies y voldoen hieraan (genaamd de oplossing van de DV); TD zei het al: y=e^x voldoet. De afgeleide van e^x is namelijk opnieuw e^x. Dit wist je echt niet, bleek.

cliin

okee het voorbeeld snap ik:)

en ik denk dat ik e^x nu ook snap, dy/dx dan is hier xy/x dus xe^x/x=e^x

klopt dit?

(trouwens wij leren in ons boek niet met dx en dy te rekenen we leren alleen maar stomme regeltjes waaraan sommige formules zich houden om te differentieren (en ik heb nog wel wiskunde b1), en als we dan verder gaan op de oude stof dan krijgen we te horen dat je andere regels hebt om andere formules te differentieren zonder dat je eigenlijk snapt wat je doet (eigenlijk zijn het meer een soort foefjes om sommen op te lossen))

Phys

Wiskunde b1, dat had ik twee jaar geleden ook voor het laatst

Ik wil even duidelijk stellen dat het niet de bedoeling is om bij een funtie een differentiaalvergelijking te zoeken, het is juist andersom: de differentiaalvergelijking is gegeven, en je wilt daar een of meerdere oplossingen voor vinden, oftewel je zoekt functies die eraan voldoen.

Gegeven de DV: y'=y, wat is dan de oplossing? y=e^x.

Het lijkt me het beste als je nu vragen stelt: wat begrijp je niet, wat wil je weten, heb ja al oefeningen hierover?

TD

cliin schreef:ik heb al gehad wat vergelijkingen zijn en ik heb ook al geleerd hoe je moet differentieren en moet primitieveren.

(...)

oh ik weet trouwens wel niet zeker hoe ik e^x moet differentieren, is dit gewoon xe^x-1?

Dit moet je toch goed beheersen, vooraleer je aan differentiaalvergelijkingen wil beginnen.

Kijk je regels en standaardafgeleiden dus nog eens na, want van e^x zou je de afgeleide toch moeten kennen.

Om dat op een weekje onder de knie te krijgen, is misschien een beetje ambitieus...

cliin

ik ga eerst nog maar eens alle regels opfrissen over het differentiëren. Ik heb net in mijn boek ook uitleg over het differentiëren van exponentiële en logaritmische functies gevonden

Dus ik ga dat hoofdstuk maar eens zelf doorkijken. (dit moeten we nog doen) Dan zal ik zo wel wat duidelijkere vragen kunnen stellen

Phys

Dat lijkt me een goed plan; als je nog vragen hebt horen we het wel!

foodanity

Kijk, als je de regels voor het differentieren en primitiveren van logaritmische functies en exponentiele functies weer weet (dit hoef je volgens mij geen eens te kunnen op middelbaar onderwijs niveau, dan rationaliseer je de vegelijkingen eerder):

\(\frac {dy}{dx} = y\)

X'jes aan de ene kant, y'tjes aan de andere.

\(dx = \frac {dy}{y}\)

Integraal beide kanten nemen

\(\int dx = \int \frac {dy}{y}\)

Is gelijk aan:

\(\int dx = \int \frac {1}{y} \cdot dy\)

Oplossen (primitiveren beide kanten):

\(x = ln (y)\)

Omzetten naar y= :

\( e^x = y\)

\( \Rightarrow y=e^x\)

En dus geldt voor de differentiaalvergelijking y'=y ---> y=e^x. Maar omdat y' niets zegt over of je naar x of naar t of naar welke letter dan ook differentieert, is het handiger om de afspraak dy/dx te hanteren, of dy/dt. Daarom noem je het vaak differentieren naar x, of naar t, of naar een variabele. En ik vind het dus ook vrij slecht dat het boek deze methode niet hanteert. Getal en Ruimte NG/NT 4 zeker?

Nu lijkt het allemaal wat makkelijker dan het is, maar heel vaak kun je zo'n differentiaalvergelijking niet zo 1, 2, 3 vinden.. en gebruik je andere trucs, maar ik denk dat je dat geeneens hoeft te weten.

Phys

Kijk, als je de regels voor het differentieren en primitiveren van logaritmische functies en exponentiele functies weer weet (dit hoef je volgens mij geen eens te kunnen op middelbaar onderwijs niveau, dan rationaliseer je de vegelijkingen eerder)

Natuurlijk moet je die kennen op middelbaar onderwijs-niveau.

Voor de duidelijkheid: Foodanity's uitgewerkte voorbeeld ("scheiden van variabelen") is aleen toepasbaar bij DV's van de vorm dy/dx=f(y)/g(x). Meestal gaat het niet zo makkelijk.

foodanity

Sorry ik formuleerde het verkeerd, wat ik bedoelde was die uitwerking van de DV (op deze manier) hoef je volgens mij niet te kennen. Die exponentiele en logaritmische functies moet je zeker wel kennen! Die zijn misschien nog wel belangrijker dan alle andere!

Phys

Gelukkig, dan zijn we het eens

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

[Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen

Re: [Wiskunde] Po wiskunde differentiaalvergelijkingen