Ongelijkheidje

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 394

Ongelijkheidje

Zij f:R-->R met f(x)=|x| voor alle x
\(\in\)
[-1,1] en f(x+2)=f(x) voor alle x.

Dan is |f(x)-f(y)|
\(\leq\)
|x-y|.

Als |x-y|>=1 is het makkelijk want |f(x)-f(y)|=<1. Maar wat als |x-y|>1 ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Ongelijkheidje

Als |x-y|>=1 is het makkelijk want |f(x)-f(y)|=<1. Maar wat als |x-y|>1 ?
Bedoel je niet het geval |x-y|<1? In het "slechtste" geval zit je op een interval waar f monotoon is, maar daar is de richtingscoëfficiënt in absolute waarde steeds 1. De gelijkheid zal dan gelden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 394

Re: Ongelijkheidje

Bedoel je niet het geval |x-y|<1? In het "slechtste" geval zit je op een interval waar f monotoon is, maar daar is de richtingscoëfficiënt in absolute waarde steeds 1. De gelijkheid zal dan gelden.
Idd, maar dat is geen bewijs natuurlijk. Knt ge een aanhef geven voor een bewijs ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Ongelijkheidje

Mij leek het bewezen. Wat noem jij een bewijs? Als aanhef kon het in elk geval al tellen :P

Het geval |x-y| :D 1 is triviaal, indien |x-y| < 1 zijn er twee mogelijkheden:

1) f is monotoon op het interval [x,y] (indien x<y, zonder verlies van algemeenheid). In dat geval is de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt 1, dus de gelijkheid geldt.

2) f is niet monotoon op het interval [x,y], de "gemiddelde rico" is dan in absolute waarde kleiner dan 1, dus het verschil in beelden is kleiner dan het verschil in argumenten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: Ongelijkheidje

Stel
\(x,y \in [-1,1]\)
.

Dan is
\(|f(x) - f(y)| = ||x| - |y|| \leq |x-y|\)
volgens de driehoeksongelijkheid.

ZDATS (Zonder de algemeenheid te schaden) mogen we aannemen dat
\(x\leq y\)
.

Bovendien mogen we ZDATS aannemen dat
\(x \in [-1,1]\)
ligt.

Stel
\(y>1\)
Dan is er een
\(k \in \nn\)
met
\(f(y)=f(y-2k)\)
en
\(y-2k \in [-1,1]\)
.

Dan is
\(|f(x)-f(y)| = |f(x)-f(y-2k)| \leq |x-(y-2k)| <|x-y|\)
Hier volgt nog een regeltje onzin:

Berichten: 394

Re: Ongelijkheidje

Bedankt allebei, maar waarom ZDATS x
\(\in\)
[-1,1] ?

Berichten: 394

Re: Ongelijkheidje

Ik weet het al, gwn verschuiven natuurlijk

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Ongelijkheidje

Inderdaad, je functie is immers periodiek.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer