[mechanica] massatraagheid

Ruben01

Ik zit met een vraag i.v.m. de massatraagheid van een zeshoekige plaat.

In mijn boek staat een oefening waar je de massatraagheid moet bepalen van een plaat waar de lengte kent van een zijde, alle 6 de zijden van de zeshoek zijn gelijk.

Mijn eerste idee was de figuur op te delen in een rechthoek en 2 driehoeken. Uiteindelijk blijkt het voldoende de massatraagheid te berekenen van een driehoek.

Ik vraag mij af op welke stelling, theorie dat gebasseerd is. In de toekomst zou ik graag meteen zien aan een figuur of je die op een eenvoudige manier kan bepalen.

Morzon

Je kan je 6-hoek construeren met 6 gelijke driehoeken.

Ruben01

Je kan je 6-hoek construeren met 6 gelijke driehoeken.

Hehe, zover was ik ook

Is het dan gewoon voldoende wanneer ik de massa van mijn driehoek aanpas naar de massa van mijn volledige zeshoek ?

Morzon

Misschien snap ik het probleem niet helemaal. Maar de traagheidmoment van een 6 hoek is gelijk aan de traagheidmoment van een gelijkzijdige driehoek maal 6.

\(I= \sum_i m_i r^2_i \)

Ruben01

Ik heb het eens volledig uitgewerkt en ik denk wel dat ik het begrijp.

Daarnet was ik nogal in de war omdat ik naar een verkeerde tekening zat te kijken in mijn boek.

Men zij dat alle zes de zijden een lengte l hadden maar ik was naar een tekening aan het kijken die een paar pagina's verder stond waar de breedte van de bovenste zijde gelijk was aan l en de totale hoogte van de rechthoek ook gelijk aan l.

De zeshoekige plaat was dus opgebouwd uit een vierkan en 2 gelijkbenige driehoeken. De opgave ging dus eigenlijk over een plaat met 6 gelijke driehoeken maar de tekening waar ik naar zat te kijken niet, daardoor was er wat verwarring ontstaan.

Bedankt voor de reacties Morzon

Morzon

Dus die vermenigvuldiging van 6 mag je natuurlijk ook stoppen in je massa. Want massa zeshoek is 6 keer massa van die ene gelijkzijdige driehoek.

Graag gedaan Ruben

Ruben01

Er is blijkbaar in mijn berekening nog ergens iets foutgelopen heb ik gezien, wanneer ik op het einde mijn formule probeer te vereendvoudigen door de massa in te vullen krijg ik een verkeerd resultaat.

Ik ben vertrokken met de volgende integeraal:

\(I_o = \int (x^2 + y^2) dm \)

Na wat rekenwerk kom ik op het volgende resultaat:

\(I_o=\frac{5\cdot d \cdot \rho \cdot lengte^4 \cdot \sqrt{3}}{3} \)

Wanneer ik de massa van de driehoek invul:

\( m= \frac{lengte \cdot lengte \cdot cos(30°) d \rho}{2} \)

dan verkrijg ik:

\( I_o = \frac{5m\cdot lengte^2}{24} \)

volgens de oplossing in mij boek moet die noemer 12 zijn ipv 24, volgens mij zit er op het einde ergens een fout maar ik weet niet direct waar ?

Morzon

Wat zijn je grenzen van de intagraal?

Ruben01

Wat zijn je grenzen van de intagraal?

Ik werk als volgt:

\(I_o = \int (x^2 + y^2) dm \)

\(I_o=\int\limits_0^{l \cdot cos(30°)} ( \int\limits_0^{y \cdot tan(30°)} (x^2+y^2)\rho \cdot d \cdot dx) dy \)

l is de lengte van de zijde van mijn rechthoek wat ook overeenkomt met de lengte van de zijde van mijn gelijkzijdige driehoek.

thermo1945

Gebruik de afstand L van het zwaartepunt van een driehoek tot het centrum.

Ruben01

Gebruik de afstand L van het zwaartepunt van een driehoek tot het centrum.

Ik snap niet zo goed wat je bedoeld ?

De vraag is voor het massatraagheidsmoment te bepalen van een zeshoek rond het massacentrum. Als je die zeshoek gaat opsplitsen in 6 driehoeken moet je telkens het traagheidsmoment bepalen t.o.v. van de as die door de top van de driehoek gaat.

thermo1945

Ik snap niet zo goed wat je bedoelt.

De massa van de driehoek kun je geconcentreerd denken in het zwaartepunt. Dan is I =6m_driehoekL².

Zie ook Morzon.

Morzon

Ruben01 schreef:Ik werk als volgt:

\(I_o = \int (x^2 + y^2) dm \)

\(I_o=\int\limits_0^{l \cdot cos(30°)} ( \int\limits_0^{y \cdot tan(30°)} (x^2+y^2)\rho \cdot d \cdot dx) dy \)
l is de lengte van de zijde van mijn rechthoek wat ook overeenkomt met de lengte van de zijde van mijn gelijkzijdige driehoek.

\(I_o=\int\limits_0^{l \cos{30°}} \int\limits_0^{y \tan{30°}} (x^2+y^2)\rho \ dx dy =\frac{5 \sqrt{3} \rho l^4}{96} \)

\(m=\int\limits_0^{l \cos{30°}} \int\limits_0^{y \tan{30°}} \rho \ dx dy=\frac{\sqrt{3} \rho l^2}{8}\)

Traagheidmoment uitgedrukt in massa m is

\(\frac{5ml^2}{12}\)

jhnbk

Ik meen voor I iets anders te hebben.

\(I=\int r^2 \mbox{d}m = \int r^2 \rho \mbox{d}V= \int r^2 \rho \mbox{d}A = \int r^3 \rho \mbox{d}r \mbox{d}r \theta\)

Dan geldt voor 1/6 van de zeshoek:

\(I=\int \limits _{0}^{\frac{\pi}{3}} \int \limits _{0}^{\frac{\sqrt{3}l}{2 \sin(2\pi/3-\theta)}} r^3 \rho \mbox{d}r \mbox{d}\theta = \frac{5\,\sqrt{3}\,\rho\,{l}^{4}}{48}\)

EDIT: Morzon, hoe kom je aan dat gewicht?

Als je één driehoek hebt met zijden l dan is de oppervlakte van de zeshoek (heroon)

\(6 \cdot \frac{\sqrt{3}\,{l}^{2}}{4} = \frac{3\sqrt{3}\,{l}^{2}}{2} \)

en de massa dus

\(\frac{3\sqrt{3}\,{l}^{2}}{2} \rho\)

EDIT: uiteindelijk kom ik ook op

\(\frac{5ml^2}{12}\)

Morzon

Ik heb een halve driehoek. Dus mijn massa moet nog met 12 vermenigvuldig worden, maar dat maakt voor de eindresultaat niks uit.

edit: Zou je misschien mijn post kunnen editten? Er is iets fout gegaan met latex. dy kunnen we twee keer niet zien.

Done. -Phys-

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[mechanica] massatraagheid

[mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid

Re: [mechanica] massatraagheid