De Weierstrass is overal continu en nergens differentieerbaar:
\( f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x), \)
waar 0 < a < 1,b een posief oneven geheel getal en
\( ab > 1+\frac{3}{2} \pi \)
.
IK zie niet het nut ervan dit te bestuderen (ik kreeg dit laatst tijdens college over fourierreeksanalyse). Kan iemand mij uitleggen wat voor nut dit heeft?
Je weet dan differentieerbaarheid ook continuïteit impliceert, het omgekeerde geldt niet noodzakelijk. Als voorbeeld wordt dan meestal y = |x| aangehaald. Dit is veel 'nuttiger' dan voorbeelden geven waar de omgekeerde richting wél werkt, want je weet dat dat in het algemeen niet zo is. Het is dus 'interessanter' om te kijken naar voorbeelden waar de omgekeerde richting niet werkt ('tegenvoorbeelden').
De vraag die je je dan kan stellen: kan een functie overal continu zijn, en nergens differentieerbaar? In theorie is dat mooi, maar kan je ook zo'n functie geven? Ja, alleen zijn dat soort functies vaak 'pathologische voorbeelden', zoals dat dan heet. Deze is er zo een.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
De vraag die je je dan kan stellen: kan een functie overal continu zijn, en nergens differentieerbaar? In theorie is dat mooi, maar kan je ook zo'n functie geven? Ja, alleen zijn dat soort functies vaak 'pathologische voorbeelden', zoals dat dan heet. Deze is er zo een.
En met 'pathologische voorbeelden' bedoel je dus in deze context functies die niet in de praktijk optreden, toch?
Functies die je inderdaad "normaal gesproken" niet tegenkomt, maar speciaal "ontworpen" werden om ergens aan te voldoen. Meestal om iets bijzonder (vaak contra-intuïtief) aan te tonen, zoals deze eigenschapen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Nog zo'n voorbeeld is de Dirichletfunctie. Dit soort functies zijn ontworpen om te testen of de definities van bijvoorbeeld continuïteit wel sluitend zijn.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
:
