Dynamisch model

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Dynamisch model

Hallo,

ik heb een vraag waarbij ik niet zo goed weet hoe ik het moet aanpakken. Het gaat over het volgende:

De lengte
\(L\)
van een plantje wordt beschreven door het dynamische model
\(\frac{dL}{dt}=5L-0,1L^2\)
met
\(L(0)=2\)
. Hierbij is
\(L\)
L in centimeter en de tijd
\(t\)
in weken.

Hoeveel centimeter verwacht je dat dit plante de eerste dag groeit?

Mijn manier was door:
\(\frac{dL}{dt}=5L-0,1L^2\)
\(dL = L(\frac{2}{7}) - 2\)
\(\frac{L(\frac{2}{7}) - 2}{\frac{2}{7}}=5L(\frac{1}{7})-0,1L(\frac{1}{7})^2\)
maar als ik dit oplos met behulp van de kwadratische formule, dan kom ik gewoon niet goed uit. Doe ik het goed of doe ik het fout? Als ik het fout doe, wat is de juiste methode en waarom doe ik het fout?

Als u geinteresseerd bent in het antwoord, het hoort volgens het antwoordenboekje 1,4 cm te zijn.

Dank u wel, TKM
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: Dynamisch model

ntstudent schreef:Hallo,

ik heb een vraag waarbij ik niet zo goed weet hoe ik het moet aanpakken. Het gaat over het volgende:

De lengte
\(L\)
van een plantje wordt beschreven door het dynamische model
\(\frac{dL}{dt}=5L-0,1L^2\)
met
\(L_0=2\)
. Hierbij is
\(L\)
in centimeter en de tijd
\(t\)
in weken.

Hoeveel centimeter verwacht je dat dit plante de eerste dag groeit?
\(\frac{dL}{dt}=5L_0-0,1L_0^2\)
\(dL= dt \cdot (5L_0-0,1L_0^2)\)
\(dL= \frac{1}{7} \cdot (5L_0-0,1L_0^2)\)
\(dL= \frac{ 5L_0-0,1L_0^2}{7}\)
L0 invullen, uitrekenen, klaar.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: Dynamisch model

eigenlijk best dom van me :D , heel erg bedankt voor uw hulp!
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: Dynamisch model

eigenlijk best dom van me :D , heel erg bedankt voor uw hulp!
Welnee, helemaal niet dom. :P

Maar je formule was een beetje ondoorzichtig, omdat je daar geen onderscheid maakte tussen L (in dL) en L0.

Dat deed ik wel, en dan is het ineens zo klaar als een klontje. :P
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Berichten: 7.068

Re: Dynamisch model

Er is natuurlijk wel een probleem met de methode die Jan gaf. Hij levert niet het juiste antwoord op (nog afgezien van dat de breuk die hij uit elkaar haalt eigenlijk geen echte breuk is). :D

Ik stel het volgende voor:

1, kies een stapgrootte \(\Delta t\).

2. bereken de lengte een stap verder.
\(L(t+\Delta t) \approx L(t) + \frac{dL(t)}{dt} \cdot \Delta t\)
3. Herhaal 2 tot je de lengte aan het eind van de eerste dag berekend hebt.

4. Haal hier de beginlengte van af.

5. Doe het hele zaakje nog een keer, maar nu met een kleinere stapgrootte en kijk of je het antwoord voldoende nauwkeurig vindt door het te vergelijken met het vorige antwoord. Zo niet, nog kleinere stapgrootte. Wel? -> koekje erbij!

Een stapgrootte van 1/7 vind ik niet nauwkeurig genoeg. :P

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: Dynamisch model

Een paar pagina´s verder staat pas deze methode uitgelegd :D hahahaha! PRECIES ZOALS u het zei, alleen dan met een verhaaltje :P
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: Dynamisch model

Een stapgrootte van 1/7 vind ik niet nauwkeurig genoeg. :P
Ik hier wel hoor :D

1,37 of 1,4 cm, who cares ??
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Berichten: 7.068

Re: Dynamisch model

En wat als je nu weet dat het werkelijk antwoord 1.9 cm is? Vind je je 1.4 cm dan nog steeds nauwkeurig genoeg?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: Dynamisch model

@Evilbro, ik bestrijd je gelijk niet hoor.
Als u geinteresseerd bent in het antwoord, het hoort volgens het antwoordenboekje 1,4 cm te zijn.
Maar, is NTstudent eigenlijk wel toe aan jouw gelijk? (tenzij er weer eens een fout in het antwoordenboekje staat)
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Dynamisch model

Het antwoordenboekje cares kennelijk niet - althans op dat punt in het hoofdstuk kennelijk nog niet. Maar de werkelijke waarde (1.92) wijkt nogal sterk af van dit antwoord.

Edit: Terwijl ik dit aan het typen was is de discussie weer een beetje verder gevorderd. Met numeriek integreren vind je als antwoord 1.92. De echte fanatiekeling (ik niet dus) zou het precieze antwoord kunnen vinden door de DV exact op te lossen:

1/(5*L-0.1*L^2) dL = dt

1/(5/2*L^2-1/30*L^3)= t + C

voor t=0 geldt L=L0=2

dus C=1/(5/2*4-1/30*8)=15/146

Hieruit rolt een derdegraadsvergelijking die je exact kunt oplossen, maar dat laat ik aan de liefhebber over
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: Dynamisch model

dat laatste gaat me ver te boven, mijn excuses, als ik zo ver ben reageer ik weer terug op dit topic :D .
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Dynamisch model

Hieruit rolt een derdegraadsvergelijking die je exact kunt oplossen, maar dat laat ik aan de liefhebber over
Ik vraag me sterk af wat je hier aan het doen bent (volgens mij iets erg vreemds). Het kan in ieder geval vrij simpel met de hand:
\(\int_2^L \frac{dL}{5L-0.1L^2}=\int_0^t dt=t\)
Voor het gemak schrijf ik niet 5 en -0.1, maar b en a
\(t=\int_0^L \frac{dx}{ax^2+bx}=\left.\frac{\log x-\log(b+a x)}{b}\right|_2^L=\frac{1}{b}\left[\log\left(\frac{L}{b+aL}\right)-\log\left(\frac{2}{b+2a}\right)\right]\)
Hieruit is makkelijk L te halen, de lengte als functie van de tijd:
\(L(t)=\frac{2be^{bt}}{b+2a-2ae^{bt}}\)
Inderdaad geldt L(0)=2 (per constructie natuurlijk, maar het klopt).

Het antwoord wordt nu gegeven door
\(L\left(\frac{1}{7}\right)-2=\frac{2be^{b/7}}{b+2a-2ae^{b/7}}-2\approx 1.92\)
met a=-0.1 en b=5
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Dynamisch model

Wat ik deed was niet vreemd: Ik maakte een typfout. Zoals ik al zei ben ik geen fanatieke DV'er. Handmatig integralen uitrekenen is iets wat niet tot mijn dagelijkse bezigheden behoort. Omdat ik toch al in Matlab bezig was dacht ik even snel de integraal uit te laten rekenen middels

int((5*x-0.1*x^2)^-1)

hetgeen als antwoord oplevert

-1/5*log(-50+x)+1/5*log(x)

Maar in plaats daarvan typte ik

int(5*x-0.1*x^2)^-1

met (uiteraard) als antwoord

1/(5/2*x^2-1/30*x^3)

...en keek er verder niet meer naar om.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Dynamisch model

Aha, daarom dacht ik dat het iets vreemds was: er kwam geen log in voor, dus de integraal was op een erg vreemde manier uitgewerkt :P Ik dacht dat je de integraal met de hand had berekend, maar geen zin had om de derdegraadsvergelijking op te lossen en daarom jezelf geen fantiekeling noemde.

In ieder geval is het duidelijk dat het antwoordenboek fout is (maar dat was het al :D )
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Berichten: 177

Re: Dynamisch model

Phys schreef:Ik vraag me sterk af wat je hier aan het doen bent (volgens mij iets erg vreemds). Het kan in ieder geval vrij simpel met de hand:
\(\int_2^L \frac{dL}{5L-0.1L^2}=\int_0^t dt=t\)
Voor het gemak schrijf ik niet 5 en -0.1, maar b en a
\(t=\int_0^L \frac{dx}{ax^2+bx}=\left.\frac{\log x-\log(b+a x)}{b}\right|_2^L=\frac{1}{b}\left[\log\left(\frac{L}{b+aL}\right)-\log\left(\frac{2}{b+2a}\right)\right]\)
Hieruit is makkelijk L te halen, de lengte als functie van de tijd:
\(L(t)=\frac{2be^{bt}}{b+2a-2ae^{bt}}\)
Inderdaad geldt L(0)=2 (per constructie natuurlijk, maar het klopt).

Het antwoord wordt nu gegeven door
\(L\left(\frac{1}{7}\right)-2=\frac{2be^{b/7}}{b+2a-2ae^{b/7}}-2\approx 1.92\)
met a=-0.1 en b=5


Sorry maar ik snap het niet helemaal, wat gebeurt er precies als je die substitutie van a en b toepast? Dan stel je iets met x op.. en dan raak ik je kwijt..

Reageer