Springen naar inhoud

[wiskunde] omrekenen naar poolvergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Sanddder

    Sanddder


  • 0 - 25 berichten
  • 25 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2008 - 15:12

Eerst maken we een poolvergelijking van de formule y = ax + b. De grafiek van deze formule wordt dus een lineaire lijn.

We kennen de overgangsformules van Cartesische coördinaten naar Poolcoördinaten, namelijk:

y = r sin
x = r cos

Als we deze invullen in de formule y = ax + b, ontstaat de formule :

r sin = a r cos + b

Nu gaan we de vergelijking oplossen en herleiden zo ‘r’.

r sin = a r cos + b
r sin - a r cos = b
r (sin - a cos ) = b
r =

Dus al nemen we een standaard lineaire functie, kunnen we die invullen in deze verkregen formule voor het omrekenen van lineaire formules.


Mijn vraag is of dit klopt. Ik ben hier namelijk niet helemaal zeker van want:

y = r sin
x = r cos

geldt voor coordinaten. Wat hierboven gedaan wordt, is niet de coordinaten omrekenen, maar de formule aanpassen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 mei 2008 - 15:37

Een beetje slordig of een beetje lui?
Sin en cos hebben een argument.
Wat is r nu? Je kan dit toch makkelijk nagaan met je GR.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2008 - 16:21

In de oorspronkelijke cartesische formule stonden x en y ook voor de cartesische coördinaten...
Je methode is dus prima, maar zoals Safe al zegt: wel slordig met sinus en cosinus. Waar is de hoek?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

foodanity

    foodanity


  • >100 berichten
  • 177 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2008 - 16:27

Wat als b nul is? Dan heb je opeens geen vergelijking meer.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2008 - 16:36

Niet in de vorm r = r(t), nee. Maar wat is bijvoorbeeld t = c met c een constante en t de hoek?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

foodanity

    foodanity


  • >100 berichten
  • 177 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2008 - 17:13

Even terzijde hoor, maar Poolcoordinaten is toch altijd met LaTeX ? En parameter met t? Of nemen wiskundigen/natuurkundigen dat niet zo nauw? (Niet dat ik me altijd keurig aan de regels en afspraken houd hoor :D)

Ehm, als de hoek dus een constante is? Ik snap m niet helemaal hoor.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2008 - 17:20

Je mag dat een naam geven die je wil, ik schrijf online meestal "t" omdat dat gemakkelijker is.

Teken in het vlak eens alle punten die voldoen aan t = pi/4, en ik bedoel dus de hoek theta :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

foodanity

    foodanity


  • >100 berichten
  • 177 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2008 - 17:25

1/4 pi + k*2pi?

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2008 - 17:29

Weet je hoe je punten in het vlak tekent die in poolcoördinaten gegeven zijn?
Welke punten in het vlak stemmen bijvoorbeeld overeen met r = 1?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

foodanity

    foodanity


  • >100 berichten
  • 177 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2008 - 17:33

Een cirkel met straal 1.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2008 - 17:35

Inderdaad: alle punten met constante r (= straal) vanuit O, hier r = 1; waarbij de hoek alle waarden aanneemt.
Nu omgekeerd, ik laat r vrij maar leg de hoek t vast. Welke punten in het vlak stemmen overeen met t = 45°?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

foodanity

    foodanity


  • >100 berichten
  • 177 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2008 - 17:38

De lijn y=x ?

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2008 - 17:39

Inderdaad! En zo is de x-as t = 0 en de y-as t = pi/2 (in radialen).

Om terug te komen op het eerdere probleem: lijnen door de oorsprong (dus met b = 0) kan je eenvoudig onder de vorm t = c schrijven, met c constant.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Sanddder

    Sanddder


  • 0 - 25 berichten
  • 25 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2008 - 17:33

Sorry, inderdaad een beetje slordig


X = r * cos (teta)
Y = r * sin (teta)

Voor de duidelijkheid:

Teta is dus de hoek. r = de straal.

#15

Sanddder

    Sanddder


  • 0 - 25 berichten
  • 25 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2008 - 17:47

- We beginnen met de formule r = 4cos met domein 0 < teta < . In Cartesische
coördinaten is de algemene formule voor een cirkel:
2 + 2 = r2.
Daarom vullen we de berekeningen zo in in de formule x2 + y2 = r2


Die vorm gaan we dus proberen te bereiken door de formule met behulp van de formules om poolcoördinaten om te zetten naar Cartesische coördinaten. In de uitwerking van deze suggestie, worden enkele rekenregels gebruikt, de herleiding hiervan is na te lezen in ‘bijlage 1’ en ‘bijlage 2’, achterin dit PO.

R = 4cos teta
x = r cos teta
y = r sin teta

dus
x = 4cos cos = 4cos2 .
Y = 4cos sin

x kun je anders schrijven omdat:
2cos2 -1 = cos 2
2cos2 = cos 2 + 1
4cos2 = 2cos 2 + 2

Ook y kun je makkelijker schrijven, omdat:
sin 2 = 2 cos sin
daarom:
2 sin 2 = 4cos sin

dus
x = 2cos 2 + 2
y = 2 sin 2 .

Nu gaan we deze coördinaten in de formule invullen:

x2 + y2 = 2 + 2
= 4cos2 2 + 8cos 2 + 4 + 4 sin 2 2
= 4cos2 2 + 4 sin 2 2 + 8cos 2 + 4
= 4 (cos2 2 + sin 2 cos 2 ) + 8cos 2 + 4




Omdat (cos2 2 + sin 2 cos 2 ) = 1, volgt:

= 4 + 8cos 2 + 4
= 8cos 2 + 8

In het begin werd gesteld:

x = 2cos 2 + 2

Daarom:

4x = 8cos 2 + 8.

Dus :
x2 + y2 = 4x
x2 – 4x + y2 = 0
x2 – 4x + 4 – 4 + y2 = 0

kwadraat afsplitsen geeft :
(x – 2) 2 – 4 + y2 = 0
(x – 2) 2 + y2 = 4

Met deze verkregen formule is bewezen dat de formule r = 4cos teta met 0 < teta < een cirkel is met M (2,0) en straal 2.


Sorry dat de teta's weer ontbreken.

Deze worden namelijk niet meegekopierd.



Ik heb dit gevonden. Ik snap er alleen niet zoveel van.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures