Springen naar inhoud

[wiskunde] convergentie rij


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 mei 2008 - 19:41

Bewijs dat een convergente rij precies één limiet heeft.

Ik weet dat ik de epsilon-definitie moet gebruiken maar hoe moet ik deze kiezen? Ik neem aan dat ik moet beginnen met de aanname dat er twee limieten zijn, toch?
Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 mei 2008 - 19:46

Inderdaad, veronderstel dat zowel K als L de limieten zijn van eenzelfde rij met bijvoorbeeld K < L.
Schrijf voor beide de epsilon-delta definitie uit, uiteraard met verschillende grensindices (bijvoorbeeld N en M).
Bekijk dan elke n groter dan het maximum van N en M, zodat de afschattingen uit beide definities gelden.
Kies dan epsilon handig en probeer tot een contradictie te komen met de eerdere veronderstelling.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 mei 2008 - 19:52

Zij LaTeX en LaTeX .

Er geldt:

LaTeX

LaTeX

Kies LaTeX ?

Veranderd door dirkwb, 15 mei 2008 - 19:53

Quitters never win and winners never quit.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 mei 2008 - 20:01

Wel vreemde notatie, die limiet voor n naar oneindig is gewoon 0 als K (of L) de limiet is.

Er geldt dat voor elke e>0, er een N bestaat zodat voor alle n>N geldt dat |a_n-L|<e.
Op dezelfde manier bestaat er een M zodat voor alle n>M ook geldt dat |a_n-K|<e.

Je kan die ongelijkheden nog herschrijven en stellen dat:
L-e < a_n < L+e en analoog K-e < a_n < K+e
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 mei 2008 - 20:06

Wel vreemde notatie, die limiet voor n naar oneindig is gewoon 0 als K (of L) de limiet is.

Die lim moet weg :D

Er geldt dat voor elke e>0, er een N bestaat zodat voor alle n>N geldt dat |a_n-L|<e.
Op dezelfde manier bestaat er een M zodat voor alle n>M ook geldt dat |a_n-K|<e.

Ok, strikt kleiner dan.

Je kan die ongelijkheden nog herschrijven en stellen dat:
L-e < a_n < L+e en analoog K-e < a_n < K+e

Ja dat kan, maar is die epsilon in ieder geval goed gekozen?
Quitters never win and winners never quit.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 mei 2008 - 20:09

Handiger is (L-K)/2.

Uit a_n < K+e volgt dan a_n < K+(L-K)/2 = (K+L)/2.
Gebruik de andere ongelijkheid voor L, kom je er dan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures