Goed, probleemstelling is als volgt:
Men heeft een functie:
\(x(t) = \left\{ \begin{array}{rcl}{{e^{\alpha \cdot t} & \mbox{for} & t>0 \\ 0 & \mbox{for} & t<0\end{array}\right.\)
LET OP: Functie is in punt 0 dus niet gedefinieerd!
Als we deze met behulp van de Fourier integraal voor continue signalen:
\(X(\omega) = \int ^\infty _{-\infty} x(t) \cdot e^{-j \cdot \omega \codt t} dt\)
omzetten, krijgen we:
\(X(\omega) = \frac {1} {\alpha + j \cdot \omega} = \frac {1} { \sqrt {\alpha^2 + \omega^2} } \cdot e^{-j \cdot arctan (\frac {\omega} {\alpha }) }\)
Als we deze
\(X(\omega) \)
omzetten via de inverse fourier tranformatie:
\(x(t)= \frac {1} {2 \cdot \pi} \int^\infty _{-\infty} {X(\omega) \cdot e^{j \cdot \omega \cdot t}} d\omega \)
Dan moet hier dus een functie uitkomen, waarbij x(t) in punt 0 wel is gedefinieerd.
Alleen bij het omzetten van die inverse fourier gaat het bij mij fout. Ik kom naar niet op een antwoord.
Als ik substitutie gebruik, loop ik vast
partieel ook en breuksplitsen zie ik ook niet.
Na de inverse fourier er op los gelaten te hebben is x(0) = 1/2
