Springen naar inhoud

[wiskunde] eigenwaarden en eigenvectoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 mei 2008 - 17:02

Vandaag ben ik begonnen aan een oefeningenreeks over eigenwaarden en eigenvectoren. Omdat ik nog niet zo vertrouwd ben met het werken met deze begrippen twijfelde ik af en toe bij het oplossen van volgende opgave:

Van de lineaire transformatie LaTeX is de matrix gegeven ten opzichte van een basis van LaTeX . Bepaal de eigenwaarden, de eigenvectoren en de eigenruimten van de lineaire transformatie LaTeX .Om de eerste op te lossen redeneerde ik als volgt:

De karakteristieke vergelijking van de matrix LaTeX is de volgende:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

De discriminant is hier echter -4, dus deze vergelijking heeft geen reŽle oplossingen. Moet ik hieruit concluderen dat deze lineaire transformatie geen eigenwaarde(n), eigenvector(en) en eigenruimte(n) heeft?

De tweede opgave oplossen ging redelijk goed, maar ik ben niet zeker van mijn uitkomst. In alle voorgaande oefeningen over eigenwaarden en eigenvectoren waren de oplossingen gehele getallen en dat is in deze opgave niet het geval. Hieronder mijn uitwerking, gelieve er even jullie licht over te laten schijnen.

Oplossing:

De karakteristieke vergelijking van de matrix LaTeX is de volgende:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

De discriminant bedraagt 113:

LaTeX en LaTeX

Dit zijn dus de eigenwaarden. De eigenvectoren en eigenruimten bepalen we dan als volgt:

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 mei 2008 - 17:09

De discriminant is hier echter -4, dus deze vergelijking heeft geen reŽle oplossingen. Moet ik hieruit concluderen dat deze lineaire transformatie geen eigenwaarde(n), eigenvector(en) en eigenruimte(n) heeft?

Inderdaad, toch niet binnen de reŽle getallen.

De tweede opgave oplossen ging redelijk goed, maar ik ben niet zeker van mijn uitkomst. In alle voorgaande oefeningen over eigenwaarden en eigenvectoren waren de oplossingen gehele getallen en dat is in deze opgave niet het geval. Hieronder mijn uitwerking, gelieve er even jullie licht over te laten schijnen.

Ik heb het laatste stuk niet nagerekend, maar de methode ziet er in elk geval goed uit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 mei 2008 - 17:17

De tweede opgave is ook helemaal juist (ik heb het 'nagerekend'). Toch zou ik je eigenwaarden niet afronden, de eigenvectoren kun je dan ook exact berekenen. Ik wil maar zeggen: ik zie geen reden om te benaderen.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 mei 2008 - 13:40

Inderdaad, toch niet binnen de reŽle getallen.

De tweede opgave is ook helemaal juist (ik heb het 'nagerekend'). Toch zou ik je eigenwaarden niet afronden, de eigenvectoren kun je dan ook exact berekenen. Ik wil maar zeggen: ik zie geen reden om te benaderen.

Bedankt voor de bevestiging. I.v.m. het exact berekenen: klopt het dat de eigenwaarden dan LaTeX en LaTeX zijn en de bijbehorende eigenvectoren en eigenruimten respectievelijk:Verder heb ik nog een vraagje over een gelijkaardige opgave. De opgave is dezelfde, enkel de transformatiematrix is verschillend, namelijk:

LaTeX

Uit de karakteristieke vergelijking volgt dat deze lineaire transformatie ťťn eigenwaarde heeft, nl. LaTeX . Wanneer ik vervolgens de eigenvector wil berekenen bekom ik het volgende stelsel:

LaTeX

Betekent dit dat de eigenvector de nulvector is? En wat is dan de eigenruimte? LaTeX ?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 mei 2008 - 13:51

Bedankt voor de bevestiging. I.v.m. het exact berekenen: klopt het dat...

Ja, dat klopt.

De laatste matrix: kijk nog eens goed. Uit jouw stelsel volgt y=0, en x is onbepaald. Immers, 0=0 is waar voor alle x dus je kunt x vrij kiezen. Je eigenvector is dus LaTeX . Merk overigens op dat de nulvector altijd voldoet aan "matrix*nulvector = eigenwaarde*nulvector".
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 mei 2008 - 13:56

Opmerking: het is mogelijk dat je bij zo'n tweevoudige eigenwaarde (de algebraÔsche multipliciteit is 2) ook twee lineair onafhankelijk eigenvectoren vindt. Dat is niet noodzakelijk zo, hier heb je er maar een.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2008 - 14:03

Betekent dit dat de eigenvector de nulvector is?

Een eigenvector is per defenitie verschillend van de nulvector.

En probeer ook eens om de eigenwaarden van deze kleine, eenvoudige matrixen, rechtstreeks via de defenitie te berekenen.

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 mei 2008 - 14:14

Een eigenvector is per defenitie verschillend van de nulvector.

Ligt eraan wat je definitie is. Je kunt de nulvector ook per definitie een eigenvector noemen (dan is het voor Ūedere matrix een eigenvector). Feit blijft: de nulvector is†niet†interessant (triviaal)†als eigenvector :P

En probeer ook eens om de eigenwaarden van deze kleine, eenvoudige matrixen, rechtstreeks via de defenitie te berekenen.

En op welke definitie doel je dan? :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 mei 2008 - 14:51

Ja, dat klopt.

Nogmaals bedankt voor de bevestiging.

De laatste matrix: kijk nog eens goed. Uit jouw stelsel volgt y=0, en x is onbepaald. Immers, 0=0 is waar voor alle x dus je kunt x vrij kiezen. Je eigenvector is dus Bericht bekijken

En probeer ook eens om de eigenwaarden van deze kleine, eenvoudige matrixen, rechtstreeks via de defenitie te berekenen.

Ik begrijp niet goed wat je hiermee bedoelt.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures