Springen naar inhoud

[wiskunde] getransponeerde en symmetrie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 mei 2008 - 19:12

Ik moet bewijzen dat LaTeX een symmetrische matrix is, voor elke vierkante matrix A.

Symmetrisch voor een functie wil zeggen: LaTeX maar wat wil het zeggen voor deze matrices?

Kan het op deze manier?:

LaTeX -->

LaTeX -->

LaTeX

en dan aantonen dat die laatste regel klopt.
Is deze logica iets, of is het onzin? (begrijpen doe ik het dus al niet echt).
Nothing to see here, move along...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 mei 2008 - 19:27

Volgens mij is het veel simpeler (maar ik kan het mis hebben). We weten dat er geldt:

LaTeX ...
Quitters never win and winners never quit.

#3

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 mei 2008 - 19:30

maar wat wil het zeggen voor deze matrices?

A is symetrisch asa LaTeX

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 mei 2008 - 19:35

Een symmetrische matrix is een vierkante matrix, die symmetrisch is t.o.v. van zijn hoofddiagonaal. Dat betekent dat de elementen aan weerszijden van de hoofddiagonaal gelijk aan elkaar zijn, of iets formeler:

LaTeX (waarbij LaTeX een element van deze matrix voorstelt)

Een andere manier om een symmetrische matrix te definiëren (die voor jou wellicht interessanter is, aangezien deze definitie de getransponeerde gebruikt):

Een vierkante matrix A is symmetrisch als en slechts als:

LaTeX

Om terug te komen op je eigenlijke vraag: ik zou het probleem herleiden tot op het niveau van de elementen en vervolgens gewoon uitschrijven. Om je te laten zien wat er gebeurt heb ik het hieronder uitgeschreven voor een 2x2-matrix:

LaTeX en LaTeX

Hier zie je dus dat de eigenschap geldt voor een 2x2-matrix. Aan jou om het uit te schrijven en te bewijzen voor alle vierkante matrices.

EDIT: Stoker en dirkwb waren me voor.

Veranderd door Klintersaas, 22 mei 2008 - 19:36

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 mei 2008 - 20:00

Volgens mij is het veel simpeler (maar ik kan het mis hebben). We weten dat er geldt:
LaTeX

Als je die eerste eigenschap mag gebruiken en de tweede definitie hanteert, dan is het eenvoudig.

LaTeX

Hierbij gebruik je nog dat (A^T)^T = A en de commutativiteit van de optelling van matrices.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 mei 2008 - 20:55

Hier ben ik helemaal uit nu, ik wist niet zeker of ik (A+B)^t = A^t + B^t mocht gebruiken dus die heb ik ook maar aangetoont, verder was het inderdaad simpel met deze definitie.

Nog een vraag over hetzelfde onderwerp:
Bewijs dat als de vierkante matrix A equivalent is met een diagonaalmatrix, A een symmetrische matrix is.

Equivalent met een diagonaalmatrix D wil zeggen A = T^t D T met T een inverteerbare matrix.
Nu geldt dus ook A = A^t dus moet ook gelden T^t D T = ( T^t D T )^t
Dus komt het neer op het aantonen dat dit geldt:
T^t D T = T D T^t (want D=D^t omdat het een diagonaalmatrix is)

Hoe bewijs ik dat?
Nothing to see here, move along...

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 mei 2008 - 20:59

Ofwel begrijp ik je verkeerd, ofwel klopt er iets, maar er zijn ook niet-symmetrische matrices die je kan diagonaliseren...
Misschien moet het omgekeerd? Er geldt namelijk wel: als symmetrisch, dan diagonaliseerbaar (omgekeerd dus niet).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 mei 2008 - 21:46

Ik weet niet precies wat je bedoelt, maar er staat alleen dat A equivalent is met een diagonaalmatrix (A ~ D), niet dat het zelf een diagonaalmatrix is.

En die stelling A ~ D is alleen geldig als er een inverteerbare matrix T is zdd: A = T^t D T.
Nothing to see here, move along...

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 mei 2008 - 22:14

Ok, mijn verwarring zat in het verschil equivalent met (A = T^t D T) en diagonaliseerbaar (A = TDT^-1).

Wat je wil aantonen: als A equivalent is met D (dus A = T^t D T), dan is A symmetrisch (dus A = A^t).
Vertrek van het gegeven en bepaal dan A^t. Probeer aan te tonen dat dit gelijk is aan A. Het is niet moeilijk...

Wat je nodig hebt: (AB)^t = B^t A^t. Dat wist je? Hier toepassen op een product van drie matrices.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 mei 2008 - 22:50

Maar dat deed ik al, ik heb A^t bepaald. Daar kwam uit: A^t = T D T^t. Dat moet geljik zijn aan A = T^t D T.
Dus ik moet laten zien dat dit geldt:
T^t D T = T D T^t

Maar dat lukt me niet.
Nothing to see here, move along...

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 mei 2008 - 22:53

Daar klopte iets niet aan, heb je gebruikt wat ik op het einde nog meegaf?

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 mei 2008 - 07:21

Het kan zijn dat ik me vergis (en dat het in dit geval wel mag), maar matrixvermenigvuldiging is niet commutatief en bijgevolg is LaTeX niet gelijk aan LaTeX maar aan LaTeX

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#13

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2008 - 10:13

Het kan zijn dat ik me vergis (en dat het in dit geval wel mag), maar matrixvermenigvuldiging is niet commutatief en bijgevolg is LaTeX

niet gelijk aan LaTeX maar aan LaTeX

dat mag inderdaad niet zomaar.
waar werd daar een fout tegen gemaakt?

#14

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2008 - 10:48

De rede dat het mij niet lukte was omdat ik de verkeerde stelling gebruikte dat : (A*B)^t = A^t * B^t.
Maar nu was het inderdaad niet zo moeilijk meer.

Die regel van TD klopt gewoon toch? Zo heb ik het gedaan (iets meer uitgeschreven) en daar komt hetzelfde uit:

LaTeX
Nothing to see here, move along...

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 mei 2008 - 12:10

Die regel klopt(e) inderdaad, eerder paste je dat zelf hier niet toe. Nu klopt het dus...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures